Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

478 R. GROSS Kapitel 12: Verteilungsfunktionendigkeitskomponente v x im Intervall [v x ,v x + dx] haben bei beliebiger Geschwindigkeit in y- und z-Richtung. Diese Größe ist offenbar durchg(v x )dv x =∫v y∫v zf (v)d 3 v (12.5.21)gegeben, wobei wir über alle möglichen Werte der y- und z-Komponente von v aufsummieren müssen.Setzen wir (12.5.10) ein, so erhalten wirg(v x )dv x = N V= N V= N V( ) m 3/2 ∫2πk B Tv y( m2πk B T∫v z) 3/2exp(− mv2 x2k B T(exp −m)2k B T (v2 x + v 2 y + v 2 z ) dv x dv y dv z)dv x∫∞−∞exp( ) m 3/2 ) (exp(− mv2 x 2πkB Tdv x2πk B T2k B T m(− mv2 y2k B T))dv y∫∞−∞( )exp − mv2 zdv z2k B T(12.5.22)und damit (siehe Abb.12.8)g(v x )dv x = N V( ) m 1/2 )exp(− mv2 xdv x . (12.5.23)2πk B T2k B TFür v y und v z gilt die gleiche Verteilung. Es ist klar, dass aufgrund der Isotropie des Geschwindigkeitsraumesg(v x )dv x eine symmetrische Funktion sein muss. Die mittlere Geschwindigkeit muss v x = 0 sein,da sich sonst das Gas makroskopisch bewegen würde.Die Standardabweichung 11 der Verteilung der Geschwindigkeitskomponente istσ =√kB Tm , (12.5.24)die volle Halbwertsbreite ist dann FWHM = 2σ/ √ 2ln2 ≃ 2.35σ.11 Die Standardabweichung erhält man aus der Definition der Normalverteilung:f (x) = 1 √2π σexp(−x 2 /2σ 2 ).c○Walther-Meißner-Institut