Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

348 R. GROSS Kapitel 9: MoleküleVertiefungsthema:Die ZentrifugalaufweitungFür ein reales Molekül ist das Modell des starren Rotators natürlich nur eine mehr oder weniger grobeNäherung. Aufgrund der hohen Präzision der Methoden der optischen Spektroskopie muss zur genauenErklärung der gemessenen Molekülspektren das Modell des starren Rotators verfeinert werden. Beieinem realen rotierenden Molekül stellt sich der mittlere Abstand der beiden Atome so ein, dass dierücktreibende Kraft −∂E pot (R)/∂R aufgrund des Potenzials E(R) gleich der Zentripetalkraft −Mω 2 Rwird. In der Nähe des Gleichgewichts kann das Potenzial meist gut durch eine Parabel 1 2 k(R − R 0) 2annähert werden, so dass die rücktreibende Kraft durch k(R − R 0 ) ausgedrückt werden kann. Hierbei istk die Kraftkonstante.Mit J 2 = I 2 ω 2 = M 2 R 4 ω 2 erhalten wir dannMω 2 R =J(J + 1)¯h2MR 3 = k(R − R 0 ) (9.5.12)und damitR − R 0 =J(J + 1)¯h2MkR 3 . (9.5.13)Das heißt, der Kernabstand wird durch die Rotation des Moleküls aufgeweitet, wir bezeichnen dies alsZentrifugalaufweitung.Durch die Zentrifugalaufweitung tritt, zusätzlich zur kinetischen Energie des starren Rotators, noch diepotentielle Energie 1 2 k(R − R 0) 2 auf, so dass die Gesamtenergie der RotationE rot =J(J + 1)¯h22MR 2 0+ 1 2 k(R − R 0) 2 (9.5.14)wird. Ersetzen wir mit Hilfe von (9.5.13) in (9.5.14) R durch R 0 , so kann gezeigt werden, dass durchdie Zentrifugalaufweitung die Rotationsenergie bei gleichem J kleiner wird. Dies resultiert aus einerVergrößerung des Trägheitsmoments aufgrund der Zentrifugalaufweitung.9.5.2 MolekülschwingungenWir betrachten jetzt ein nichtrotierendes Molekül, d.h. den Fall J = 0. In diesem Fall vereinfacht sich dieDifferentialgleichung (9.5.3) für den Radialanteil zu(1 dR 2 R 2 dS )+ 2M [E − EpotdR dR ¯h 2 (R) ] S(R) = 0 . (9.5.15)c○Walther-Meißner-Institut