Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.3 PHYSIK IV 33Physikalische Größe AOrtsvektor rpotentielle Energie E potOperator Â̂rÊ pot = V (r)kinetische Energie E kinGesamtenergie E = E kin + E potImpuls pÊ kin = − ¯h22m ∇2Ĥ = − ¯h22m ∇2 +V (r)ˆp = −i¯h∇Drehimpuls L ̂L = −i¯h(r × ∇)( )z-Komponente des Drehimpulses L ẑL z = −i¯h x ∂ ∂y − y ∂ ∂xTabelle 1.3: Physikalische Messgrößen mit ihren Operatoren im Ortsraum.1.3.3 ErwartungswerteBei der Beschreibung der statistischen Eigenschaften eines Vielteilchensystems benutzt man in der klassischenPhysik zur Definition von Mittelwerten den Begriff der Verteilungsfunktion. So wird z.B. diemittlere Geschwindigkeit v eines Systems von Teilchen mit einer Geschwindigkeitsverteilung f (v) durchv =∞∫v=0∞∫v=0v · f (v) dvf (v) dv∫ ∞= v · f (v) dv (1.3.37)v=0gegeben. Hierbei gibt f (v)dv die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Teilchen eine Geschwindigkeitim Geschwindigkeitsintervall zwischen v und v+dv besitzt. Das Integral dieser Wahrscheinlichkeit überalle Geschwindigkeiten muss natürlich eins ergeben. Analog können wir den Mittelwert von v 2 oder dasmittlere Geschwindigkeitsquadrat zuv 2 =∫ ∞v=0v 2 · f (v) dv (1.3.38)angeben.In der Quantenmechanik wird die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall zwischen r und r + drzu finden, durch |Ψ(r)| 2 bestimmt. Wir können deshalb den Mittelwertr =∞∫−∞∞∫−∞r · |Ψ(r)| 2 dV|Ψ(r)| 2 dV∫ ∞∫ ∞= r · |Ψ(r)| 2 dV = Ψ ⋆ ̂r Ψ dV (1.3.39)−∞−∞2003