Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

330 R. GROSS Kapitel 9: Molekülee 1-yr 12e 2-r A1r B1r A2r B2Ae + e +RxBzAbbildung 9.11: Zur Definition der Größen beim H 2 -Molekül.9.2.2 Die Heitler-London NäherungWir wollen nun eine andere Betrachtungsweise diskutieren, nämlich die Valenzbindungsnäherung, dieauf Walther Heitler (1904-1981) und Fritz London (1900-1954) zurückgeht. In dieser Näherung gehenwir ebenfalls vom Molekülorbitalmodell aus. Allerdings setzen wir die Gesamtwellenfunktion hier nichtals Produkt von zwei Molekülorbitalen (wie bei der Molekülorbitalnäherung), sondern als Produkt vonzwei Atomorbitalen an. Im tiefsten Molekülorbital können zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spinuntergebracht werden. Die dazugehörige WellenfunktionΨ 1 = c 1 φ A (r 1 ) · φ B (r 2 ) (9.2.9)gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das Elektron 1 am Kern A ist, also durch die atomare Wellenfunktionφ A beschrieben werden kann, und das Elektron 2 gleichzeitig am Kern B zu finden ist unddeshalb durch φ B beschrieben wird.Da die beiden Elektronen nicht unterscheidbar sind, muss auch die WellenfunktionΨ 2 = c 2 φ A (r 2 ) · φ B (r 1 ) (9.2.10)eine mögliche Wellenfunktion mit gleicher Ladungsverteilung sein. Nach dem Pauli-Prinzip muss derräumliche Anteil der Wellenfunktion symmetrisch oder antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung derbeiden Elektronen sein, um so mit der entsprechenden Spinfunktion eine antisymmetrische Gesamtwellenfunktionzu ergeben. Mit c = c 1 = ±c 2 können wir schreiben:Ψ s,a = Ψ 1 ± Ψ 2 = c [φ A (r 1 ) · φ B (r 2 ) ± φ A (r 2 ) · φ B (r 1 )] . (9.2.11)Da die atomaren Wellenfunktionen φ A und φ B bereits normiert sind, erhalten wir √ nach einer zur Herleitungvon (9.1.19) und (9.1.20) analogen Rechnung den Koeffizienten c = 1/ 2(1 ± SAB 2 ), so dass wirfür die Heitler-London Wellenfunktionc○Walther-Meißner-Institut