Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

32 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikĤ = ̂p22m + Ê pot = − ¯h22m ∇2 +V (r) . (1.3.28)Damit lassen sich die Schrödinger-Gleichung (1.3.9) und die Energieeigenwertgleichung (1.3.15) in OperatorschreibweisealsĤ Ψ = Ê Ψ (1.3.29)Ĥ Ψ k = E k Ψ k (1.3.30)ausdrücken. Wir gewinnen also die Schrödinger-Gleichung aus den Gesetzen der klassischen Physik,indem wir die klassische Hamilton-Funktion durch den Hamilton-Operator ersetzen und diesen entsprechend(1.3.29) auf die Zustandsfunktion anwenden. Dieses Vorgehen erscheint zunächst formal, kannaber auf jede beliebige Observable erweitert werden.Zur praktischen Handhabung müssen wir natürlich jeder Observablen A auch den zugehörigen Operator zuordnen können. Dabei nutzen wir aus, dass jedes mechanische System durch Angabe seiner OrtsundImpulskoordinaten bestimmt ist und man aus der klassischen Physik zumeist für jede physikalischeGröße die Funktion A(p i ,q i ,t) kennt. Mit dieser Funktion erhalten wir den zugehörigen quantenmechanischenOperator über die Vorschrift = Â(̂p i , ̂q i ,t) . (1.3.31)Aus der klassischen Definition des Drehimpulses L (bezogen auf den Nullpunkt r = 0) eines Teilchensmit Masse m und Geschwindigkeit vL = m(r × v) = r × p (1.3.32)folgt über die Vorschrift (1.3.31) mit der Definition des Impulsoperators der Drehimpulsoperator̂L = −i¯h(r × ∇) . (1.3.33)In kartesischen Koordinaten erhält man(̂L x = −i¯h y ∂ ∂z − z ∂ )∂y(̂L y = −i¯h z ∂ ∂x − x ∂ )∂z(̂L z = −i¯h x ∂ ∂y − y ∂ )∂x(1.3.34)(1.3.35)(1.3.36)In Tabelle 1.3 sind einige physikalische Größen A mit ihren zugehörigen Operatoren  zusammengefasst.c○Walther-Meißner-Institut