Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

94 R. GROSS Kapitel 3: Das Einelektronenatom3.3 Die Schrödinger-Gleichung für EinelektronenatomeDie Schrödinger-Gleichung für das System bestehend aus Elektron mit Masse m e und Ladung −e undAtomkern mit Masse m K und Ladung +Ze lautet][− ¯h2 ∇ 2 e − ¯h2 ∇ 2 K − Ze2 Ψ = EΨ . (3.3.1)2m e 2m K 4πε 0 rHierbei repräsentiert der erste Term die kinetische Energie des Elektrons, der zweite die kinetische Energiedes Kerns und der dritte die potentielle Energie der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronund Kern. Die Wellenfunktion Ψ(r e ,r K ) hängt von den Koordinaten des Kerns r K und des Elektrons r eab.Das Lösungsverfahren für die Schrödinger-Gleichung ist aufwändig. Bei der Auffindung der quantenmechanischenLösungen gehen wir in folgenden Schritten vor:(i) Wir reduzieren das Zweikörperproblem wie in der klassischen Mechanik zunächst auf SchwerpunktsundRelativbewegung.(ii) Die Kugelsymmetrie erlaubt es dann, die Winkelabhängigkeit zu isolieren und einer allgemeinenLösung zuzuführen. Dabei machen wir vom Konzept des Drehimpulses Gebrauch.(iii) Wir diskutieren abschließend das Radialproblem.Insgesamt erinnert dieses Programm stark an die Vorgehensweise bei der Beschreibung von Planetenbahnen,allerdings hier in quantenmechanischem Kleid.3.3.1 Schwerpunkt- und RelativbewegungWie in der klassischen Mechanik lässt sich auch in der Quantenmechanik das Zweiteilchenproblem aufzwei Einteilchenprobleme abbilden. 10 Dazu führen wir die reduzierte Masseµ = m em Km e + m K(3.3.2)sowie die Koordinaten des Schwerpunktes S (siehe Abb. 3.5)R = (X,Y,Z) = m er e + m K r KM(3.3.3)und den Abstand r = (x,y,z)r = (x,y,z) = r e − r K (3.3.4)c○Walther-Meißner-Institut