Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.3 PHYSIK IV 505einer Kugelschale im k-Raum, die zwischen den Radien k und k +dk liegt (vergleiche hierzu Abb. 12.5).Wir erhalten somitρ(k)dk =V(2π) 3 (4πk2 dk) = V2π 2 k2 dk . (13.3.11)Wir können dieses Ergebnis dazu benutzen, um die entsprechende Anzahl von Zuständen D(ε)dε zubestimmen, für die die Energie im Intervall [ε,ε + dε] liegt. Da ε nur von |k| abhängt, muss die Zahl derZustände in den äquivalenten Impuls und Energieintervallen gleich sein. Wir erhalten also∣ |ρ(k)dk| = |D(ε)dε| = ρ(k)dk∣∣∣ ∣dε∣ dε = ρ(k) dεdk ∣−1dε . (13.3.12)Mit ε = ¯h 2 k 2 /2m erhält man dann die Zustandsdichte des idealen Gases zuD(ε)dε = V ∣ ∣∣∣ dk2π 2 k2 dε ∣ dε =V ( ) 2m 3/2√ ε dε . (13.3.13)4π 2 ¯h 2Wir sehen, dass die Zustandsdichte proportional zu √ ε anwächst.Mit k = p/¯h können wir das Ergebnis (13.3.13) auch wie folgt schreiben:D(ε) = d ( V · 4π p 2 )d pdε h 3. (13.3.14)Wir sehen also, dass wir die Zustandsdichte durch die Ableitung des Phasenraumvolumens pro Zustandnach der Energie erhalten. Dieser Zusammenhang gilt allgemein.Unabhängig davon, welche Verteilungsfunktion f (ε,T ) angewendet wird (Maxwell-Boltzmann-, Fermi-Dirac- oder Bose-Einstein-Verteilungsfunktion), gilt für die Anzahl der Teilchen pro EnergieintervalldNdε= D(ε) · f (ε,T ) . (13.3.15)In Abb. 13.6 ist dN/dε für die Maxwell-Boltzmann- und die Fermi-Dirac Verteilungsfunktion dargestellt.Wir sehen, dass bei gleicher Gesamtteilchenzahl (Fläche unter der jeweiligen Kurve) bei der Fermi-Dirac-Verteilung aufgrund des Pauli-Prinzips Zustände bis zu wesentlichen höheren Energien besetztwerden müssen. Während das Maximum von dN/dε bei der klassischen Verteilung etwa bei ε/k B T = 1liegt, werden bei der Fermi-Dirac-Verteilung Zustände bis zu einigen 10k B T besetzt. Bei Metallen liegtder scharfe Abfall von dN/dε typischerweise sogar bei einigen 100k B T .2003