Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

218 R. GROSS Kapitel 6: Übergänge zwischen Energieniveauszu wählen, d.h. eine in Richtung k laufende Welle mit Polarisationsvektor ê zu betrachten. Wir könnendann, wie in der klassischen Elektrodynamik, die elektromagnetische Strahlung nach Multipolen entwickeln.Die bekannteste Form dieser Multipolstrahlung ist der oszillierende Dipol (Hertzscher Dipol).Die elektrische Dipolkomponente ergibt sich als niedrigste Ordnung, wenn man die Exponentialfunktionin (6.4.4) entwickelt:e ik·r = 1 + ik · r − 1 2 (k · r)2 + ... . (6.4.5)Für sichtbares Licht ist k ∼ 10 5 cm −1 . Da die Wellenfunktionen eine typische Ausdehnung von wenigenÅ aufweisen, ist in den Bereichen, in denen die Wellenfunktion nicht verschwindet, kr ∼ 10 −3 . Wirdürfen daher alle höheren Glieder in der Entwicklung (6.4.5) in guter Näherung vernachlässigen. Diedominante Komponente der von Atomen emittierten Strahlung hat Dipolcharakter.Das Matrixelement (6.4.1) schreibt sich in der Dipolnäherung e ik·r ≈ 1 alsM ik ∝ 〈i|êp|k〉 ∝ 〈i|êr|k〉 ∝ 〈i|̂p el |k〉 , (6.4.6)wobei ̂p el = −êr der Operator des elektrischen Dipolmoments ist. Die zweite Proportionalität kann mitHilfe der Vertauschungsrelation 131[̂r,Ĥ 0 ] = [̂r, ̂p 2 ] = i¯h ̂p (6.4.7)2m e m eüber〈i|̂p|k〉 = m ei¯h 〈i|̂rĤ 0 − Ĥ 0̂r|k〉 = m ei¯h (E k − E i )〈i|̂r|k〉 ∝ 〈i|̂r|k〉 (6.4.8)abgeleitet werden. Geht man in der Entwicklung obiger Exponentialfunktion einen Schritt weiter, sokommt man zu den magnetischen Dipolen und elektrischen Quadrupolen. Sie werden aber nur dann vonBedeutung, wenn die elektrischen Dipolelemente Null sind.13 Es gilt:1[̂r,̂p 2 ] = 1 (2m e 2m eMit [̂r,̂p] = ̂r̂p − ̂p̂r = i¯h können wir umformen zûr̂p 2 − ̂p 2̂r)= 1 ( )̂r̂p 2 − ̂p[̂p̂r] .2m e1[̂r,̂p 2 ] = 1 ()̂r̂p 2 − ̂p(̂r̂p − i¯h) = 1 ()̂r̂p 2 − (̂p̂r)̂p + ı¯ĥp2m e 2m e 2m eund unter nochmaliger Benutzung der Identität [̂r,̂p] = ̂r̂p − ̂p̂r = i¯h zuworaus sichergibt.1[̂r,̂p 2 ] = 1 ()̂r̂p 2 + (i¯h −̂r̂p)̂p + ı¯ĥp ,2m e 2m e12m e[̂r,̂p 2 ] = 12m e(̂r̂p 2 + 2i¯ĥp −̂r̂p 2) = i¯ĥpm ec○Walther-Meißner-Institut