Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.3 PHYSIK IV 37Matrixdarstellung von OperatorenIn der durch die Funktionen Ψ i , i = 1,...,N gegebenen Basis kann der Operator  durch die MatrixelementeA ik =∫Ψ ⋆ iÂ Ψ k dV i,k = 1,...,N (1.3.51)dargestellt werden. Da die zulässigen Operatoren hermitesch sind, werden Observable in der Quantenmechanikdurch hermitesche Matrizen dargestellt, für die A ⋆ ik = A ki gilt. Die quadratische Matrix (1.3.51)wird diagonal, wenn als Basis die orthonormierten Eigenfunktionen Ψ n verwendet werden. Als Diagonalelementetreten dann die Eigenwerte A n der Observablen, d.h. die möglichen Messwerte auf.1.3.6 Vertiefungsthema:Quantenmechanische BewegungsgleichungWir wollen in diesem Abschnitt die zeitliche Änderungddt 〈Â〉 =∫+∞−∞Ψ ⋆ dÂdtΨ dV (1.3.52)des Erwartungswerts 〈Â〉 einer Observablen A betrachten. Die zeitliche Änderung des Erwartungswertkann auch durch zeitliche Differentiation des Erwartungswerts 〈Â〉 gewonnen werden. Durch Ausführender Differentiation erhalten wirddt 〈Â〉 = d dt=∫+∞−∞∫+∞−∞∂Ψ ⋆∂tΨ ⋆ Â Ψ dVÂ Ψ dV +∫+∞−∞Ψ ⋆ ∂Â∫+∞∂t Ψ dV + Ψ ⋆  ∂Ψ∂t−∞dV . (1.3.53)Durch Benutzen der Schrödinger-Gleichung∂Ψ∂t= − ī h Ĥ Ψ ∂Ψ ⋆∂t= ī h Ĥ Ψ⋆ (1.3.54)erhalten wir weiter2003