Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

464 R. GROSS Kapitel 12: Verteilungsfunktionen12.4 Anwendungen der VerteilungsfunktionenDie Diskussion in den vorangegangenen Abschnitten lieferte eine Reihe von äußerst wirkungsvollenHilfsmitteln, mit denen sich die makroskopischen Eigenschaften irgendeines Gleichgewichtssystemsaus der Kenntnis seiner mikroskopischen Bestandteile ableiten lassen. Wir wollen im Folgenden dieNützlichkeit dieser Methoden anhand einiger einfacher aber physikalisch wichtiger Beispiele erörtern.12.4.1 Das ideale einatomige GasAls Beispiel für die Anwendung der Verteilungsfunktionen diskutieren wir ein ideales einatomiges Gas.Wir werden dieses System zunächst klassisch behandeln und die Gültigkeit dieser klassischen Behandlungerst später untersuchen. Eine quantenmechanische Behandlung folgt dann in Kapitel 13.Berechnung thermodynamischer GrößenWir betrachten ein aus N identischen, einatomigen Molekülen der Masse m bestehendes Gas, das ineinen Behälter mit dem Volumen V eingeschlossen ist. Der Ortsvektor des i-ten Moleküls sei r i undsein Impuls p i . Wir nehmen ferner an, dass die Gasmoleküle keinen externen Kräften ausgesetzt sindund nicht miteinander wechselwirken. Die Gesamtenergie des Gases ist dann nur durch die Summe derkinetischen Energien der Gasteilchen gegeben:U =N∑i=1p 2 i2m . (12.4.1)Wir wollen nun die klassische Verteilungsfunktion aufstellen. In klassischer Näherung hängt die Energieε(q 1 ,...,q N , p 1 ,..., p N ) von N generalisierten Ortskoordinaten und N generalisierten Impulsen ab.Wenn wir den Phasenraum in einzelne Zellen mit dem Volumen h 3N zerlegen, so lässt sich die Verteilungsfunktionberechnen, indem wir zunächst über die Anzahl (dq 1 ...dq N d p 1 ...d p N )/h 3N der Zellenim Phasenraum summieren, die in dem Volumenelement (dq 1 ...dq N d p 1 ...d p N ) um den Punkt(q 1 ,...,q N , p 1 ,..., p N ) liegen und denen nahezu dieselbe Energie ε(q 1 ,...,q N , p 1 ,..., p N ) zugeordnetwerden kann. Anschließend muss dann über alle Volumenelemente aufsummiert bzw. integriert werden.Wir erhalten damit in klassischer NäherungZ ==∫∫∫···∫···e −βε(q 1,...,q N ,p 1 ,...,p N ) dq 1 ...dq N d p 1 ...d p Nh 3Ne −β[ 12m (p2 1 +···+p2 N )] dq 1 ...dq N d p 1 ...d p Nh 3N (12.4.2)oderZ = 1h 3N ∫∫e − β2m p2 1 d 3 p 1 ···e − β2m p2 Nd 3 p N∫∫···d 3 q 1 ···d 3 q N . (12.4.3)c○Walther-Meißner-Institut