Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

410 R. GROSS Kapitel 11: Statistische BeschreibungWir wollen nun die Anzahl der Mikrozustände, die zu einer bestimmten Verteilung gehören, bestimmen.Dazu müssen wir die Zahl der Vertauschungsmöglichkeiten der Teilchen zwischen den Phasenraumzellenberechnen. Es gibt insgesamt M 6 Zellen mit den Besetzungszahlen n(i) mit i = 1,2,3,...,M 6 . Aus derWahrscheinlichkeitsrechnung folgt für die Zahl der Vertauschungsmöglichkeiteng =N!M 6∏ n(i)!i=1. (11.2.3)Die Zahl g nennen wir auch die Entartung einer Verteilung. Die Entartung gibt an, wie viele Mikrozuständezu einer bestimmten Verteilung gehören. Analog haben wir in Teil I mit der Entartung einesEnergieniveaus bei einem Atom die Zahl der Zustände bezeichnet, die zu einer bestimmten Energiegehören. Wir können aus (11.2.3) leicht das obige Ergebnis (11.1.3) für die Verteilung von N Teilchenauf N Zellen ableiten. Da in diesem Beispiel jede Zelle nur einfach besetzt sein sollte, folgt n(i) = 1,wodurch der Nenner in (11.2.3) eins wird und wir p = N! erhalten.Für das zweidimensionale Beispiel aus Tabelle 11.1 ergibt sich nach (11.2.3)g =24!4! · 1! · 5! · 3! · 3! · 2! · 1! · 3! · 2! ≃ 2.5 × 1017 , (11.2.4)also eine bereits sehr hohe Zahl. Wir sehen auch, dass die absolute Größe von g von der Wahl derZellengröße abhängt, da diese eine Bestimmungsgröße für die Besetzungszahlen n(i) ist.Wir verteilen nun die N Teilchen neu auf den Phasenraum, so dass sich die Besetzungszahlen n(i) ändern.Dadurch wird eine neue Verteilung geschaffen. Solange wir aber dafür sorgen, dass alle Teilchen innerhalbdes durch die oben definierten Randbedingungen begrenzten Phasenraumvolumens liegen, wirdder Makrozustand nicht geändert. Wir sehen also: Zu einem Makrozustand gibt es eine Vielzahl vonmöglichen Verteilungen. Dies gilt insbesondere dann, wenn N groß ist und M nicht zu klein gewähltwurde. Jede Verteilung enthält wiederum eine Vielzahl von Mikrozuständen.Die Bedeutung der eben eingeführten Begriffe werden wir uns später im Zusammenhang mit dem Grundpostulatder statistischen Physik, dass alle erlaubten Mikrozustände mit gleicher Wahrscheinlicheit anzutreffensind, weiter vertiefen. Aus diesem Postulat folgt hier unmittelbar, dass eine bestimmte Verteilungumso eher anzutreffen ist, je größer die Zahl g ihrer Mikrozustände ist. Anders formuliert können wirfesthalten:Die Wahrscheinlichkeit für die Realisierung einer Verteilung bei gegebenem Makrozustandist proportional zur Zahl der zu dieser Verteilung gehörenden Mikrozustände. DieZahl der zu einer Verteilung gehörenden Mikrozustände ist durch die Entartung g gegeben.Wir wollen uns diesen Sachverhalt nochmals anhand unseres Würfelspiels klar machen. Wir können hiereine Verteilung so definieren, dass sie gerade einer bestimmten Augenzahl entspricht, man bezeichnetdeshalb eine Verteilung auch als eine Klasse. Benutzen wir zwei Würfel, so liegen insgesamt 36 Mikrozustände(mögliche Wurfergebnisse) vor, die wir entsprechend der möglichen Augenzahlen von 2 bis 12in genau 11 Verteilungen oder Klassen aufteilen müssen. Wir sehen, dass die Klasse, die der Augenzahl2 oder 12 entspricht nur einen Mikrozustand enthält, während die Klasse mit der Augenzahl 7 sechsc○Walther-Meißner-Institut