Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

460 R. GROSS Kapitel 12: VerteilungsfunktionenBeispiel: Mittelwert der EnergieDer Mittelwert der Energie für feste Teilchenzahl ist dannU = 〈ε〉 =∑kε k exp ( − ε kτ)Z= τ2Z∂Z∂τ = τ2 ∂∂τlnZ . (12.3.16)Der Mittelwert gilt für ein Ensemble von Systemen, die Energie aber keine Teilchen mit dem Reservoiraustauschen können.Beispiel: Vom System geleistete makroskopische ArbeitWir betrachten eine quasistatische Änderung des Volumens von V auf V +dV . Die Energie des Zustandesk ändert sich dabei um den Betragdε V = ∂ε k∂VdV . (12.3.17)Der Mittelwert der vom System geleisteten makroskopischen Arbeit dW lässt sich dann mit der kanonischenVerteilung zudW =∑k(∂εk∂V dV )exp ( − ε kτ)Z(12.3.18)berechnen. Der Zähler kann wiederum durch Z ausgedrückt werden:∑k( ) ∂εk(exp − ε k∂V τ)(= −τ ∂ (∂V∑ expk− ε kτ) ) = −τ ∂Z∂V . (12.3.19)Damit erhalten wir für dWdW = −τ 1 Z∂Z∂VdV = − τ∂ lnZ∂VdV . (12.3.20)Wegen dW = −p dV folgt somit durch Vergleich mit (12.3.20):p = τ ∂ lnZ∂V . (12.3.21)c○Walther-Meißner-Institut