Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

318 R. GROSS Kapitel 9: Molekülekompletten Satz von Lösungen. Die Gesamtwellenfunktion Ψ(r,R) kann daher nach diesen Funktionenentwickelt werden:Ψ(r,R) = ∑iF i (R) Ψ eli (r,R) . (9.1.6)Die Entwicklungskoeffizienten F i (R) beschreiben die Wellenfunktion der Nukleonen für den Fall, dasssich das elektronische System im Zustand Ψ eli (r,R) befindet. Die F i (R) werden, wie man durch Einsetzenin die Schrödinger-Gleichung verifizieren kann, durch ein System von Differentialgleichungenaneinander gekoppelt. Die Born-Oppenheimer Näherung genannte Vereinfachung vernachlässigt in diesenGleichungen den Kopplungsterm ∇ R Ψ eli (R) gegen ∇ R F i (R). Man erhält die Wellengleichung für dieKerne][− ¯h22M ∇2 R + Epot(R)i F i (R) = E i F i (R) . (9.1.7)Diese Gleichung beschreibt quantenmechanisch die Bewegung eines Teilchens in einem PotentialE i pot(R). Um das Problem insgesamt zu lösen, müssen wir die beiden Wellengleichungen (9.1.5) und(9.1.7) lösen. Wir werden in diesem Abschnitt mit den Elektronen beginnen.9.1.3 Lösung der elektronischen WellengleichungBetrachten wir die Elektronen, so können wir die beiden Kerne als starres Gebilde mit einem festenAbstand R zwischen den beiden Kernen betrachten. Wir können (9.1.5) analog zum Wasserstoffatomexakt analytisch lösen, wenn wir elliptische Koordinatenµ = r A + r BRν = r A − r BR(9.1.8)ϕ = arctan y xeinführen. Die Orte der beiden Kerne sind dabei in den Brennpunkten der Ellipse und die Verbindungsachseder beiden Kerne soll die z-Achse definieren (siehe Abb. 9.4).In elliptischen Koordinaten faktorisert die Wellenfunktion in das ProduktΨ(r,R) = M(µ) · N(ν) · Φ(ϕ) . (9.1.9)c○Walther-Meißner-Institut