Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

504 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikDa die möglichen Wellenvektoren nur ganz bestimmte Werte annehmen können, ergeben sich auch fürdie möglichen Energien der Zustände die diskreten Werteε = ¯h2 (k22m x + ky 2 + kz 2 ) 2π 2¯h ()2 n 2=xm Lx2 + n2 yLy2 + n2 zLz2. (13.3.7)Für große Werte von L x ,L y ,L z liegen die erlaubten Energiewerte sehr dicht, so dass wir quasi ein Kontinuumvon Zuständen vorliegen haben.Wir wollen nun die Zahl der Zustände in einem Impulsintervall der Größe dk x einer Wellenvektorkomponenteabzählen. Bei gegebenem k y und k z folgt aus (13.3.4) bis (13.3.6), dass die Anzahl ∆n x vonmöglichen ganzen Zahlen, für die k x zwischen k x und k x + dk x liegt, durch∆n x = L x2π dk x (13.3.8)gegeben ist. Die Anzahl der Zustände ρ(k)d 3 k, für die k im Bereich zwischen k und k+dk liegt, ist danndurch das Produkt der Anzahl der möglichen ganzen Zahlen in den Intervallen der drei Komponentengegeben. Das heißt, wir erhaltenρ(k)d 3 k = ∆n x ∆n y ∆n z =( )( )( )Lx2π dk Lyx2π dk Lzy2π dk z= L xL y L z(2π) 3 dk xdk y dk z (13.3.9)oderρ(k)d 3 k =V(2π) 3 d3 k , (13.3.10)wobei d 3 k das Volumenelement im k-Raum ist. Wir bezeichnen ρ(k) als die Zustandsdichte im k-Raum.Sie ist unabhängig von k und proportional zum betrachteten Volumen, das heißt, die Anzahl der Zuständepro Volumeneinheit mit einem bestimmten Wellenvektor in irgendeinem vorgegebenen Intervall ist unabhängigvon der Größe und Gestalt des Volumens. 4Da die Energie ε eines Zustandes nur vom Betrag des Impulses abhängt, wollen wir die Zahl der Zuständeρ(k)dk bestimmen, für die der Betrag des Wellenvektors im Intervall [k,k +dk] liegt. Diese Zahl erhaltenwir, indem wir über alle Werte von k in diesem Bereich aufsummieren. Diese liegen aber genau innerhalb4 Anmerkung: Man beachte, dass man mit p = ¯hk für die Zustände ρ(p)d 3 p im Impuls-Intervall zwischen p und p + dpden Ausdruckρ(p)d 3 p = ρ(k)d 3 k =V d 3 p(2π) 3 ¯h 3 = V d3 ph 3erhält. Nun ist aber V d 3 p gerade das Volumen im klassischen 6-dimensionalen Phasenraum, den ein Teilchen im VolumenV und mit einem Impuls zwischen p und p + dp einnimmt. Der Ausdruck für ρ(p)d 3 p zeigt also, dass die Unterteilung desPhasenraumes in Zellen der Größe h 3 die richtige Anzahl der Quantenzustände des Teilchens liefert.c○Walther-Meißner-Institut