Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

490 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikMaxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac123123123XYXXXXXYXXXXXYXXXXXYXXYXXXXYXXYXXYYXAbbildung 13.1: Verteilung von zwei Teilchen X und Y auf drei Zustände 1,2,3 entsprechend derMaxwell-Boltzmann-Statistik, der Bose-Einstein-Statistik und der Fermi-Dirac-Statistik.Im klassischen Fall (Maxwell-Boltzmann-Statistik) werden die Teilchen als unterscheidbar angesehenund jede Anzahl von Teilchen kann jeden Zustand besetzen. Es gibt also 3 2 = 9 mögliche Zustände fürdas gesamte Gas.Im quantenmechanischen Fall müssen wir die Teilchen als ununterscheidbar betrachten. Die Ununterscheidbarkeitimpliziert X = Y . Für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik) kann jede Anzahl von Teilchenjeden Zustand besetzen. Die Ununterscheidbarkeit impliziert, dass die drei Zustände des klassischenFalls, die sich nur durch Vertauschung von X und Y ergeben, jetzt wegfallen. Es gibt jetzt nur noch dreiArten, die Teilchen in den gleichen Zustand und drei Arten, sie in verschiedene Zustände zu platzieren.Wir erhalten also insgesamt 6 verschiedene Zustände.Für Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik) darf nur noch ein Teilchen einen bestimmten Einteilchenzustandbesetzen. Im Vergleich zu den Bosonen fallen deshalb die drei Zustände mit zwei Teilchen im gleichenZustand weg. Es gibt dann insgesamt nur noch drei mögliche Zustände für das Gas.Definieren wir α alsα =Wahrscheinl. dafür, dass sich beide Teilchen im gleichen Zustand befindenWahrscheinl. dafür, dass sich beide Teilchen nicht im gleichen Zustand befinden ,so erhalten wirα MB = 1 2Maxwell-Boltzmann-Statistikα BE = 1Bose-Einstein-Statistikα FD = 0 Fermi-Dirac-Statistik . (13.1.5)Wir sehen, dass für Bosonen eine größere Tendenz vorhanden ist, sich im gleichen Quantenzustandanzusammeln als für klassische Teilchen. Andererseits gibt es für Fermionen eine größere Tendenz dafür,sich in verschiedenen Zuständen anzusammeln als im klassischen Fall.c○Walther-Meißner-Institut