Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 12.3 PHYSIK IV 459Beispiel: Mittlere EnergieDer thermodynamische Mittelwert der Energie ist〈ε〉 =∑∑N k)ε k exp(Nµ−εkτ˜Z. (12.3.11)Wir werden im Folgenden 〈ε〉 als U bezeichnen.Beachten wir, dass〈Nµ − ε〉 = 〈N〉µ −U = 1˜Z∂ ˜Z∂(1/τ) =∂∂(1/τ) ln ˜Z , (12.3.12)so können wir durch Kombination von (12.3.10) und (12.3.7) schreiben:U =(µτ ∂∂ µ − ∂ )ln ˜Z . (12.3.13)∂(1/τ)12.3.3 ZustandssummeHalten wir die Teilchenzahl N im System fest, so können wir statt der großen Zustandssumme die ZustandssummeZ(N,τ) ≡ ∑ε k(exp − ε kτ)(12.3.14)verwenden. Die Summation erstreckt sich hier über die Boltzmann-Faktoren aller Zustände k, für welchedie Teilchenzahl im System N = const ist.Genauso wie die große Zustandssumme ˜Z der Proportionalitätsfaktor zwischen der Wahrscheinlichkeitp(N,ε k ) und dem Gibbs-Faktor ist, bildet die einfache Zustandssumme Z den Proportionalitätsfaktorzwischen der Wahrscheinlichkeit p(ε k ) und dem Boltzmann-Faktor exp(−ε k /τ):p(ε k ) = exp( − ε kτ)Z. (12.3.15)Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnen wir als Maxwell-Boltzmann-Verteilung.2003