Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

488 R. GROSS Kapitel 13: Quantenstatistik13.1 Identische TeilchenWir betrachten ein System aus N identischen Teilchen, die in einen Behälter mit Volumen V eingeschlossensind und nicht miteinander wechselwirken. Die Teilchen sollen ferner keine interne Struktur besitzen.Die möglichen Quantenzustände der Teilchen stellen Lösungen der Schrödinger-Gleichung für ein Systemvon nur einem Teilchen dar. Den Quantenzustand eines Systems aus N Teilchen konstruieren wir,indem wir die N Teilchen N verschiedenen Zuständen zuordnen, die jeweils Lösungen einer Einteilchen-Schrödiger-Gleichung sind. Gewöhnlich gibt es eine unbegrenzte Zahl von besetzbaren Zuständen, vondenen die N Teilchen N besetzen werden.Wir wollen zunächst die möglichen Quantenzustände der Teilchen klassifizieren. Hierzu benutzen wirdie Ortskoordinate q i , die alle Ortskoordinaten (z.B. die drei kartesischen Ortskoordinaten) des i-tenTeilchens bezeichnen soll. Zur Charakterisierung der möglichen Quantenzustände eines Teilchens benutzenwir die Bezeichnung s i . Ein möglicher Wert von s i entspricht dann z.B. einer Spezifizierung derdrei Impulskomponenten und der Spinorientierung. Den Zustand des gesamten Systems aus N Teilchenkönnen wir dann durch den Satz von Quantenzahlen{s 1 ,s 2 , ... ,s N } (13.1.1)beschreiben. Diese Quantenzahlen nummerieren die Wellenfunktion Ψ des Gases in dem entsprechendenZustand:Ψ = Ψ {s1 ,s 2 ,...,s N }(q 1 ,...,q N ) . (13.1.2)Wir betrachten nun verschiedene Fälle.13.1.1 Klassischer Fall: Maxwell-Boltzmann-StatistikIm klassischen Fall muss man die Teichen als unterscheidbar betrachten und wir müssen annehmen, dassjede beliebige Anzahl von Teilchen einen bestimmten Zustand besetzen kann. Die klassische Beschreibungbringt keine Anforderungen hinsichtlich der Symmetrie der Wellenfunktion (13.1.2) mit sich, wennwir zwei Teilchen miteinander vertauschen. Wir sagen, dass die Teilchen einer Maxwell-Boltzmann-Statistik entsprechen. Diese Beschreibung ist natürlich quantenmechanisch nicht korrekt. Sie ist aberinteressant für Vergleichszwecke und liefert unter bestimmten Umständen eine sehr gute Näherung.13.1.2 Quantenmechanischer FallIm quantenmechanischen Fall sind die Teilchen ununterscheidbar (vergleiche Kapitel 1, Abschnitt1.4). Wenn wir eine quantenmechanische Beschreibung des Systems machen wollen, müssenwir berücksichtigen, dass es bestimmte Symmetriebedingungen für die Wellenfunktion (13.1.2) beimAustausch von zwei beliebigen identischen Teilchen gibt. Als Ergebnis erhalten wir keinen neuen Zustanddes Gases, wenn wir zwei beliebige Gasteilchen miteinander vertauschen. Wenn wir also die verschiedenenmöglichen Zustände des Systems abbzählen, müssen wir berücksichtigen, dass die Teilchenc○Walther-Meißner-Institut