Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 9.5 PHYSIK IV 347Wir sehen, dass der Abstand der Energien linear mit J zunimmt.Wir erhalten dieses Ergebnis auch direkt aus der Radialgleichung (9.5.3). Bei konstantem Abstand R = R 0verschwindet nämlich der erste Term in (9.5.3) und deshalb muss auch der Ausdruck in den eckigenKlammern Null werden. Da E die Gesamtenergie ist, folgt E kin = E − E pot = E rot und damit sofort dieBeziehung (9.5.7).Geben wir die Energiewerte in Wellenzahlen an, so erhalten wirν rot = E rothc=J(J + 1)¯h22hcMR 2 0= B e J(J + 1) . (9.5.9)Die KonstanteB e =¯h4πcMR 2 0(9.5.10)heißt Rotationskonstante. Sie wird durch M und R 0 bestimmt und hat die Einheit cm −1 .Durch Absorption von elektromagnetischer Strahlung können Übergänge J → (J + 1) zwischen benachbartenRotationsniveaus induziert werden. Die dazugehörige Absorptionsfrequenzen bzw. Wellenzahlensindν(J) = c B e · 2(J + 1) ν(J) = B e · 2(J + 1) (9.5.11)und liegen im Mikrowellenbereich. Das Rotationsspektrum ist also en Linienspektrum, dessen Wellenzahlendie äqidistanten Abstände 2B e besitzen. Aus der Messung der Rotationsspektren kann deshalb dieRotationskonstante und daraus wiederum das Trägheitsmoment des Moleküls bestimmt werden. Da dieMassen der das Molekül bildenden Atome gut bekannt sind, kann aus der Messung der Rotationsspektrender Abstand der Atome im Molekül bestimmt werden.Für das Wasserstoffmoleküle ergeben sich mit B e = 60.8cm −1 (entspricht etwa 7 meV) typische Rotationsfrequenzenvon einigen meV. Diese sind somit um zwei Größenordnungen kleiner als die Frequenzder Streckschwingung ν 0 = 285 meV (siehe nächster Abschnitt), welche ihrerseits etwa 10-mal kleinerals die Dissoziationsenergie ist. Die größte Rotationskonstante erhält man für das H 2 -Molekül, da dessenBindungsabstand wesentlich kleiner als der aller anderen biatomaren Moleküle ist. Aus der Rotationskonstantedes Wasserstoffmoleküls können wir das Trägheitsmoment I = 4.6 × 10 −48 kg m 2 und darausmit der reduzierten Masse M = 0.5 und M H = 8.35 × 10 −28 kg den Gleichgewichtsabstand R 0 = 0.742Åberechnen.2003