Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.1 PHYSIK IV 489ununterscheidbar sind. Beim Zählen der Zustände kommt es somit nicht darauf an, welches Teilchen sichin welchem Zustand befindet, sondern wie viele Teilchen es in jedem Einteilchenzustand s gibt.Hinsichtlich der Symmetrieeigenschaften der Gesamtwellenfunktion (13.1.2) bezüglich Teilchenvertauschungmüssen wir zwischen Teilchen mit ganzahligem (Bosonen: z.B. Photonen, Deuteronen, He 4 -Atomen) und Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen: z.B. Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos)unterscheiden. Die Wellenfunktion von Bosonen ist symmetrisch gegenüber der Vertauschung vonzwei beliebigen Teilchen, während die Wellenfunktion von Fermionen antisymmetrisch ist. Das heißt, esgiltΨ(...,q i ,...,q j ,...)= Ψ(...,q j ,...,q i ,...) Bosonen (13.1.3)Ψ(...,q i ,...,q j ,...)= − Ψ(...,q j ,...,q i ,...) Fermionen . (13.1.4)BosonenFür Bosonen führt die Vertauschung von zwei Teilchen nicht zu einem neuen Zustand des Gases (Gesamtsystems).Die Teilchen müssen deshalb beim Abzählen der verschiedenen Zustände des Gasesals echt ununterscheidbar betrachtet werden. Wichtig ist, dass es keine Beschränkung hinsichtlich derTeilchenzahl in irgendeinem Einteilchenzustand s gibt. Man sagt, dass die Teilchen der Bose-Einstein-Statistik gehorchen.FermionenFür Fermionen tritt beim Austausch von zwei Teilchen eine Vorzeichenänderung auf. Dies hat eine weitreichendeKonsequenz. Befinden sich nämlich zwei Teilchen i und j im gleichen Einteilchenquantenzustands i = s j = s, so führt die Vertauschung offensichtlich zuΨ(...,q i ,...,q j ,...) = Ψ(...,q j ,...,q i ,...) .Da aber die fundamentale Symmetrieforderung (13.1.4) erfüllt werden muss, folgt sofort, dass Ψ = 0,wenn die Teilchen i und j den gleichen Einteilchenzustand besitzen. Für Fermionen kann also keinZustand des Gesamtsystems existieren, in dem zwei oder mehr Teilchen den gleichen Einteilchenzustandbesetzen. Diese Tatsache ist uns als das Paulische Auschließungsprinzip bereits bekannt. Beim Abzählender Zustände des Gases muss man also stets die Einschränkung berücksichtigen, dass nie mehr als einTeilchen einen bestimmten Einteilchenzustand besetzen kann. Man sagt, dass die Teilchen der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen.BeispielWir wollen ein ganz einfaches Beispiel benutzen, um die gerade diskutierten Begriffe und ihre Konsequenzenzu verdeutlichen. Wir betrachten hierzu ein Gas, dass nur aus zwei Teilchen X und Y besteht, dieeinen von drei möglichen Quantenzuständen 1,2,3 einnehmen können. Wir wollen jetzt alle möglichenZustände des Gases aufzählen. Dies entspricht der Beantwortung der Frage, auf wie viele verschiedeneArten wir zwei Teilchen auf drei Einteilchenzustände verteilen können. Das Ergebnis ist in Abb. 13.1gezeigt.2003