Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

104 R. GROSS Kapitel 3: Das Einelektronenatoml m Bezeichnung Entartungsgrad |m| Winkelfunktion0 0 s 1 0 s = 1/ √ √4π31 −1,0,1 p 3 0 p z =√4π cosϑ31 p x =4πsinϑ cosϕ√p y = sinϑ sinϕ2 -2 bis +2 d 5 0 d 3z 2 −r 2 = √ 5/16π(3cos 2 ϑ − 1)1 d xz = √ 15/4π sinϑ cosϑ cosϕd yz = √ 15/4π sinϑ cosϑ sinϕ2 d x 2 −y 2 = √ 15/4π sin 2 ϑ cos2ϕd xy = √ 15/4π sin 2 ϑ sin2ϕ3 -3 bis +3 f 74 -4 bis +4 g 95 -5 bis +5 h 1134πTabelle 3.3: Funktionennamen und Entartungsgrad für Zustände mit verschiedener Drehimpulsquantenzahll. Ebenso gezeigt ist die mathematische Form der Winkelfunktionen für die s-, p- und d-Zuständein kartesischen Koordinaten.p x = √ 1 (Y1 −1 −Y1 +1 ) =2p y =i √2(Y −11+Y +1p z = Y 0 1 =√3sinϑ cosϕ4π√31) = sinϑ sinϕ (3.3.35)4π√34π cosϑ .Als Beispiel sind in Abb. 3.9 die 3d-Zustände in einem kartesischen Koordinatensystem gezeigt.Wir wollen zum Abschluss dieses Abschnitts einige allgemeinen Aussagen zusammenfassen, die sichbezüglich der Kugelflächenfunktionen, also den Eigenfunktionen des winkelabhängigen Anteils derSchrödinger-Gleichung, machen lassen:• Die Wellenfunktionen geben die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Auffinden des Elektrons imEinelektronenatom (z.B. Wasserstoffatom) an. Die Kugelflächenfunktionen Ylm beinhalten dabeidie Information über die Winkelabhängigkeit dieser Amplitude.• Die Charakterisierung nach Drehimpulsen entspricht einer Multipolentwicklung, wie man sie ausder Elektrodynamik kennt.• Wie im Falle des freien quantenmechanischen Teilchens ist die Wellenfunktion des Einelektronenatomsintrinsisch komplex. Die komplexe Phase wird durch den Winkel ϕ bestimmt. Dabei wärees möglich durch Linearkombination von Yl m (ϑ,ϕ) und Yl−m (ϑ,ϕ) die komplexe Phase zu eliminieren.Dies würde aber bedeuten, dass die entsprechende Funktion zwar weiterhin Eigenfunktionvon ̂L 2 aber nicht mehr von ̂L z wäre. 1414 Die Situation ist aus der Optik bekannt. Dort ist es möglich, links- und rechtspolarisiertes Licht zu linear polarisiertemLicht zu kombinieren.c○Walther-Meißner-Institut