Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

110 R. GROSS Kapitel 3: Das Einelektronenatom4L zin Einheiten von h3210-1-2-3-42l = 0l = 1l = 26l = 312l = 420Abbildung 3.10: Mögliche Richtungen eines Drehimpulses mit definierter Komponente L z und definiertemBetrag |L| für verschiedene Bahndrehimpulsquantenzahlen l.〈L z 〉 = m ¯h − l ≤ m ≤ +l , (3.3.59)wobei m = −l,−(l − 1),...,+(l − 1),l die Orientierungsquantenzahl ist, da sie den Winkel ϑ zwischenL und der z-Achse festlegt. Die z-Achse bezeichnet man dann als Quantisierungsachse. Abb. 3.10 zeigtdie zulässigen Einstellungen von L für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen.(a)(b)Wendet man die Operatoren L x oder L y an, so erhält man eine nicht zu Ylm proportionale Funktion. Somitsind L x und L y nicht gleichzeitig mit |L| und L z scharf messbar, wie oben bereits anhand der Vertauschungsrelationenerläutert wurde. Man kann jedoch Eigenfunktionen zu Lx 2 + Ly 2 = L 2 − Lz 2 bilden. IhreEigenwerte sind dann (m 2 x + m 2 y)¯h 2 = [l(l + 1) − m 2 ]¯h 2 . Wir sehen also, dass ̂L 2 und ̂L z eine gemeinsames,vollständiges System von Eigenfunktionen besitzen. Ihre Eigenwerte lassen sich deshalb gleichzei-zzL yL xm = 2m = 1L z= m h0υ|L| =[l(l+1)] 1/2 hm = -1xym = -2Abbildung 3.11: (a) Räumliche Einstellung eines Drehimpulses. (b) Einstellmöglichkeiten des DrehimpulsesL mit der Quantenzahl l = 2. L x und L y sind unbestimmbar, nachdem |L| und L z festgelegt wurdenund liegen auf Kegelmänteln.c○Walther-Meißner-Institut