Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 13.2 PHYSIK IV 501( VN) 1/3≫h√ 3mkB T(13.2.33)abgeleitet. Wir sehen, dass diese Bedingung für die Anwendbarkeit der klassischen Beschreibung geradeauf Gase mit niedriger Konzentration (große V /N-Werte) oder bei hohen Temperaturen zutrifft.Wir wollen kurz eine anschauliche Begründung für die Anwendbarkeit der klassischen Beschreibung imFall verdünnter Gase oder sehr hoher Temperaturen geben (vergleiche hierzu Abschnitt 12.4.2). Unterdiesen Bedingungen sind nur wenige Einzelzustände besetzt und diese fast ausnahmslos nur mit einemTeilchen. Bei der Berechnung der Besetzungswahrscheinlichkeiten spielt dann die Ununterscheidbarkeitder Teilchen und das Pauli-Prinzip keine Rolle mehr. Erstere, da eine Umbesetzung der Teilchen ja fastimmer bedeutet, dass die Teilchen in einen vorher nicht besetzten Zustand gelangen und letzteres, da jaein Zustand fast ausschließlich nur mit einem Teilchen besetzt ist.Im klassischen Grenzfall folgt wegen (13.2.31), dass sich sowohl für die Fermi-Dirac- als auch die Bose-Einstein-Statistik auf〈n k 〉 = e −(ε k−µ)/k B T(13.2.34)reduziert. Wegen (13.2.30) wird das chemische Potenzial durch die Bedingung∑k〈n k 〉 = ∑odere µ/k BTke −(ε k−µ)/k B T= e µ/k BT∑e −ε k/k B Tk= N) −1 (= N ∑e k/k B T(13.2.35)kbestimmt. Setzen wir diese in (13.2.34) ein, so erhalten wir〈n k 〉 = N e−ε k/k B T∑ke −ε k/k B T . (13.2.36)Wir sehen also, dass im klassischen Grenzfall (genügend kleine Teilchendichte, große Temperatur) sichdie quantenmechanischen Verteilungen auf die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (vergleiche (12.3.15)in Abschnitt 12.3.3) reduzieren. In Abb. 13.4 wurde bereits gezeigt, dass die quantenmechanischeund die klassische Verteilungsfunktion bei großen Werten von (ε − µ)/k B T , also e (ε k−µ)/k B T ≫ 1,übereinstimmen.Zum Vergleich sind in Abb. 13.5 nochmals die Fermi-Dirac- und die Bose-Einstein-Verteilung zusammenmit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung für eine Temperatur von T = 2000 K und verschiedene Wertedes chemischen Potenzials dargestellt. Wir weisen nochmals darauf hin, dass die Verteilungen keineWahrscheinlichkeiten darstellen, deren Integral jeweils eins ergeben müsste, sondern Besetzungszahlen,deren Integral die Teilchenzahl ergibt. Für die Bose-Einstein-Verteilung muss, damit die Teilchenzahlbeschränkt bleibt, µ ≤ 0 sein. Für die Fermi-Dirac-Verteilung ist dagegen µ ≥ 0.2003