Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

414 R. GROSS Kapitel 11: Statistische BeschreibungM=3µ BM= µ BM=-3µ B M=- µ B+ +Abbildung 11.5: Mögliche Magnetisierungen mit den dazugehörigen Zuständen für N = 3.realisiert werden. Die Magnetisierung besitzt als ExtremalwerteM max = Nµ B und M min = −Nµ B . (11.3.4)Alle Zustände mit einer bestimmten Magnetisierung M ∈ {−Nµ B ,...,+Nµ B } bilden eine Klasse. DieExtremalwerte der Magnetisierung entsprechen den Zuständen ↑↑↑↑ ... und ↓↓↓↓ ... und stellen für sichKlassen dar. Ausgehend davon können alle anderen Klassen erzeugt werden, indem wir jeweils einenbeliebigen Spin umkehren. Dabei erhöht bzw. erniedrigt sich M jeweils um 2µ B (siehe Abb. 11.5).Wie können dieses Ergebnis auch anders herleiten: Ein Zustand ist durch 1 2 N + m ↑-Spins charakterisiert.11 Die Anzahl der ↓-Spins ist durch 1 2N −m gegeben. Der Spinüberhang, d.h. die Anzahl der ↑-Spinsminus die Anzahl der ↓-Spins beträgt somit 2m.11.3.2 Entartung der ZuständeWir wollen nun, ähnlich wie wir oben überlegt haben, wie viele Realisierungsmöglichkeiten es für einebestimmte Augenzahl beim Würfeln mit N Würfeln gibt oder wieviele Mikrozustände es für einebestimmte Verteilung von N Teilchen auf M d Phasenraumzellen gibt, nun herleiten, wie viele Realisierungsmöglichkeitenes für eine bestimmte Magnetisierung M im Emsemble der N Spins gibt. Das heißt,wir fragen nach der Anzahl der Zustände in der durch M charakterisierten Verteilung oder Klasse. Umdieses Abzählen durchzuführen, benutzen wir das Binomialtheorem(a + b) N ==N∑s=0N!(N − s)! s! aN−s b sm=+ 1 2 N∑m=− 1 2 N N!( 1 2 N + m)! ( 1 2 N − m)!a1 2 N+m b 1 2 N−m . (11.3.5)11 Im Folgenden werden wir implizit annehmen, dass es sich bei N um eine gerade Zahl handelt, da uns dies die Diskussionerleichtert. Im Limes N → ∞ ist dies keine starke Einschränkung.c○Walther-Meißner-Institut