Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

30 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die Quantenphysikklassische WelleGröße, die sich wellenförmig ausbreitetquantenmechanische ZustandsfunktionZustandsfunktionf (r,t) = f 0 (r) exp[iωt] Ψ(r,t) = Ψ 0 (r) exp[iωt]DispersionsbeziehungDispersionsbeziehungk 2 = ω2v 2 ph= 4π2λ 2 k 2 =2m(E −V )¯h 2= 2mω¯hWellengleichung∇ 2 f − 1v 2 ph∂ 2 f∂t 2 = 0Schrödinger-Gleichung( ¯h2)2m ∇2 −V Ψ + i¯h ∂ ∂t Ψ = 0stationäre Wellengleichungstationäre Schrödinger-Gleichung∇ 2 f 0 + k 2 f 0 = 0 ∇ 2 Ψ 0 + 2m¯h 2 (E −V ) Ψ 0 = 0f 0 ist als Amplitude der Welle eine messbare Ψ 0 kann als WahrscheinlichkeitsamplitudeGrößekeiner messbaren Größe zugeordnet werden| f | 2 ist proportional zur Intensität |Ψ| 2 dV ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dasQuantenobjekt im Volumenelement dV zufindenTabelle 1.2: Gegenüberstellung der Eigenschaften einer klassischen Welle und der quantenmechanischenZustandsfunktion.physikalische Größe bzw. Observable dar, sondern wird vielmehr über die Schrödinger-Gleichung mitder physikalischen Begriffswelt verknüpft. Im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik wirdnun jeder physikalischen Observablen A ein Operator  zugeordnet, der auf die Wellenfunktion wirkt,um eine möglichst allgemeine und zweckmäßige Beschreibung zu erhalten. Wir werden weiter untennoch sehen, dass aus physikalischen Gründen nur lineare hermitesche Operatoren in Frage kommen. DieEigenwerte dieser Operatoren sind dann reell und mit den den experimentell zugänglichen Messwerteneiner Observablen identisch.Bevor wir einzelne Operatoren diskutieren, wollen wir uns an den klassischen Hamilton-Formalismus 18erinnern. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems lauten∂q i∂t= ∂H∂ p i∂ p i∂t= − ∂H∂q ii = 1,2,3,..., f , (1.3.19)18 William Rowan Hamilton (1805 - 1865).c○Walther-Meißner-Institut