Die verbogene Raum-Zeit

Newton: Daß eine Kugeloberfläche gekrümmt ist, sieht ja jeder
gleich, nur ist die Krümmung eben ein Begriff, der auch etwas mit
dieser Einbettung zu tun hat. Ohne diese Einbettung in den normalen
dreidimensionalen Raum hätte es wohl kaum einen Sinn, von
einer Krümmung zu reden.
Haller: Und ob! Gut, daß Sie diesen Punkt ansprechen. Es macht
sehr wohl auch dann noch einen Sinn, von einer Krümmung zu
reden. Es war insbesondere der deutsche Mathematiker Gauß, der
als einer der ersten im vergangenen Jahrhundert realisierte, daß
man die Krümmungseigenschaften einer Fläche studieren kann,
ohne diese Fläche zu verlassen, also ohne die Hinzunahme einer
weiteren Dimension.
Newton: Wir haben vorhin die Flachlinge eingeführt. Also nehmen
wir einmal an, wir hätten solche Flachlinge auf unserer Kugeloberfläche.
Eines Tages würden diese, wenn sie einigermaßen unternehmungslustig
sind, Expeditionen in alle Richtungen aussenden,
um festzustellen, in welcher Welt sie eigentlich leben. Und sie würden
festellen, daß eine Expedition, wenn sie in einer Richtung loszieht
und die Richtung konstant beibehält, wieder an den
Ausgangspunkt zurückkehrt. Sie würden also festellen, daß ihr
Raum zwar unbegrenzt, aber nur endlich ist - eine Erfahrung, die
vor 500 Jahren die Weltumsegler mit unserer Erdoberfläche gemacht
haben.
Als nächstes würden die Mathematiker an den Flach-Universitäten
die These verkünden, daß das Flach-Universum als die
Oberfläche einer hypothetischen Kugel im dreidimensionalen
Raum zu interpretieren sei. Die Strecke, die eine Expedition zurücklegt,
bis sie wieder an den Ausgangspunkt zurückkehrt, würde
man als den Umfang eines Kreises auf dieser Kugel interpretieren,
deren Radius sich dann als diese Strecke, geteilt durch 2�, ergibt.
Das alles ist einfach zu verstehen, aber wie sollten die Flachlinge
denn etwas über die Krümmungseigenschaft ihres Raumes herausfinden,
wenn sie diesen Raum gar nicht verlassen können, also
ohne die Zuhilfenahme der dritten Dimension?
Haller: Sie sagten gerade, daß die Flachlinge sehr wohl herausfinden
können, ob ihre Welt endlich oder unendlich groß ist. Mit der
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