Die verbogene Raum-Zeit

Abb. 9-6 Im euklidischen Raum gilt für ein rechtwinkliges Dreieck
der Satz von Pythagoras: (AC) 2 + (BC) 2 = (AB) 2 .
weiligen Längenverhältnisse. Er kann jederzeit angeben, wie lang
die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen Punkten auf
seiner Fläche ist, also die Länge der entsprechenden Geodäten.
Jedenfalls kann er diese ohne weiteres messen. Man spricht deshalb
auch von einem metrischen Raum, was nichts weiter ist als ein
Raum, in dem man die Länge zwischen zwei Punkten jederzeit
angeben kann. Unser dreidimensionaler Raum ist auch ein metrischer
Raum, denn jedermann weiß, wie er die Entfernung zwischen
zwei Punkten feststellt. Sie ist gegeben durch die Länge der
kürzesten Verbindung zwischen den Punkten, und die ist eine gerade
Strecke.
Newton: Ich verstehe. So eine gekrümmte Fläche ist ein zweidimensionaler
metrischer Raum, also ein Gebilde, für den die
Entfernung zwischen zwei Punkten jederzeit festgestellt werden
kann. Nehmen wir einmal an, ich konstruiere ein rechtwinkliges
Dreieck, dessen Seitenpunkte ich mit A, B und C bezeichne, wobei
am Punkt C der rechte Winkel sein soll. In unserem Raum, also
einem euklidischen Raum, gilt der Satz von Pythagoras: Die
Summe der Entfernungsquadrate (AC) 2 + (BC) 2 , also die Quadrate
der Kathetenlängen, ist gleich dem Entfernungsquadrat (AB) 2 , also
dem Quadrat der Hypotenusenlänge. Dies gilt jedoch nur im eukli-
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