Die verbogene Raum-Zeit

Abb. 9-4 Ein gleichseitiges Dreieck auf der Kugeloberfläche, dessen
Winkelsumme 270 Grad beträgt. Zwei der Eckpunkte befinden sich auf
dem Äquator der Kugel, der dritte ist am Nordpol.
Krümmung ist es ebenso. Als erster hat sich wohl Gauß mit diesem
Problem beschäftigt, und er gab auch die richtige Lösung. Betrachten
wir einmal ein Dreieck auf unserer Kugeloberfläche. Das
ist natürlich kein normales Dreieck, wie wir es auf einem Blatt
Papier zeichnen, also auf einer ebenen Fläche. Wir markieren drei
Punkte auf der Kugel und verbinden diese durch die kürzesten
Linien, die man zeichnen kann - das sind jeweils Stücke eines
Kreises mit einem Radius, der dem Kugelradius entspricht. Man
nennt solche Linien, also Linien, die zwei Punkte auf dem kürzesten
Weg verbinden, Geodäten - ein Ausdruck, der aus der
Geodäsie kommt. So bewegen sich Flugzeuge, die etwa von New
York nach Paris fliegen, im Normalfall entlang einer Geodäten
über der Erdoberfläche. Auf einer Ebene oder in unserem normalen
dreidimensionalen Raum sind die Geodäten gerade Linien.
Deshalb ist eine Geodäte auf einer Kugeloberfläche nicht nur die
kürzeste Verbindung zweier Punkte, sondern auch das Analogon zu
einer Geraden in der Ebene. Sie ist die Linie, die man erhält, wenn
man einfach geradeaus fährt, ohne Abweichung nach links oder
rechts.
Man sieht leicht, daß die Summe der Winkel eines aus Geodäten
bestehenden Dreiecks nicht mehr 180 Grad beträgt, sondern etwas
größer ist. Beispielsweise können wir auf der Erde ein gleichseiti-
149