Die verbogene Raum-Zeit

oder ganz allgemein:
l 2 = A(x - X) 2 + 2B(x - X) (y - Y) + C(y - Y) 2
wobei A, B und C beliebige Konstanten sind. Von hier aus ist es nur
ein kleiner Schritt zu sagen, daß A, B und C auch noch von den
Koordinaten x und y abhängig sein können, also für verschiedene
Koordinaten verschiedene Werte annehmen können. Allerdings gilt
dann die obige Form nur noch für kleine Abstände, also für den
Fall, daß der Abstand der betrachteten Punkte hinreichend klein ist.
Der metrische Tensor, meist durch den Buchstaben g bezeichnet,
ist gegeben durch die Angabe der Größen A, B und C. Meist
schreibt man ihn in einer quadratischen Anordnung:
Für eine Ebene ist dieser metrische Tensor trivial - da sind die
Größen A und C gleich l und B ist 0. Das bedeutet, daß auf der
Ebene der Satz von Pythagoras gilt und der Abstand zwischen zwei
Punkten mit Hilfe der Koordinaten leicht berechnet werden kann.
Es war das Verdienst von Gauß zu erkennen, daß die Abstandsverhältnisse
auf einer gekrümmten Fläche durch einen metrischen
Tensor beschrieben werden können, bei dem die Größen A, B und
C vom Ort abhängig sind. So einfach ist das - der Übergang von
der Ebene zur gekrümmten Fläche wird einfach dadurch bewerkstelligt,
daß A, B und C jetzt variieren können. Der metrische
Tensor bestimmt die Längenverhältnisse auf der Fläche und damit
deren Krümmung eindeutig.
Newton: Nur ist der Zusammenhang zwischen dem metrischen
Tensor und der Krümmung recht kompliziert. Ich muß erst die
Fläche konstruieren und anschließend die Krümmung daraus
bestimmen. Gibt es da einen schnelleren Weg?
Einstein: Den gibt es - die Krümmung der Fläche kann auch rein
mathematisch aus dem metrischen Tensor bestimmt werden, indem
158