Die verbogene Raum-Zeit

Flachlinge, um die Krümmung in einem Punkt festzustellen, um
den Punkt herum Kreise studieren, und je nachdem, wie das
Verhältnis von Radius und Umfang ist, können sie feststellen, wie
es mit der Krümmung steht. Das scheint mir allerdings ein recht
umständliches Verfahren.
Einstein: Da haben Sie recht. Die Mathematiker haben deshalb ein
Verfahren entwickelt, das es erlaubt, direkt etwas über die
Krümmung zu sagen, vorausgesetzt, wir kennen die mathematische
Darstellung der Fläche. Die Details seien hier nicht diskutiert,
zumal wir sonst in rein mathematische Finessen abdriften würden.
Nur soviel sei gesagt: Man kann eine beliebig gekrümmte Fläche
beschreiben, indem man an jedem Punkt der Fläche eine Größe
definiert, die sozusagen die Abstandsverhältnisse auf der Fläche
festlegt - sie sagt zum Beispiel aus, daß der Abstand zwischen diesem
und jenem Punkt so und so groß ist. Man nennt diese Größe
den metrischen Tensor. Er bestimmt die Abstandsverhältnisse, also
die metrische Struktur der Fläche. Ein einfaches Beispiel soll dies
illustrieren, und zwar unser wohlbekanntes euklidisches Koordinatensystem.
Jeder Punkt in der Ebene wird durch die beiden Koordinaten
x und y beschrieben. Kennen wir die Koordinaten zweier
Punkte, sagen wir (x,y) und (X,Y), dann kennen wir nicht nur
deren Lage, sondern auch den Abstand l zwischen den zwei
Punkten. Sein Quadrat ist durch die Summe der Quadrate der
Differenzen gegeben:
l 2 = (x - X) 2 + (y - Y) 2
In diesem Fall ist der metrische Tensor besonders einfach. Er bedeutet
hier nichts weiter als die mathematische Vorschrift, die es
erlaubt, den Abstand zu berechnen, also die Vorschrift: Nimm die
Summe der Quadrate der beiden Koordinatendifferenzen, und du
hast das Quadrat des Abstandes.
Niemand zwingt uns jedoch, die obige Definition des Abstandes
zu verwenden. Wir könnten auch festlegen:
l 2 = (x - X) 2 + 2(x - X) (y - Y) + (y - Y) 2
157