Die verbogene Raum-Zeit

aber ohne feste Grenzen - ein endlicher Raum ohne Grenzen.
Newton: Gesetzt den Fall, unser Raum wäre von dieser Art. Dann
müßten wir also bei großen Abständen Abweichungen von der
euklidischen Geometrie feststellen können, etwa beim Vermessen
von Dreiecken. Gauß hat bei seiner Messung nichts gefunden, aber
wie steht es heute? Mit Hilfe von Satelliten könnte man heute sehr
genaue geometrische Vermessungen der Himmelskörper durchführen.
Haller: Dies hat man auch getan, aber über die Details können wir
erst später reden, wenn wir die Gravitation betrachten. Nur so viel
sei gesagt: Der Raum unseres Universums besitzt aller Wahrscheinlichkeit
nach nicht die Struktur der Oberfläche einer vierdimensionalen
Kugel. Eine großräumige Krümmung des Raumes hat
man bis heute nicht nachweisen können. Wenn überhaupt vorhanden,
ist sie also äußerst klein.
Newton: Neben der Kugeloberfläche haben wir ja auch die
Sattelfläche betrachtet, die eine negative Krümmung besitzt. Wie
steht es denn damit? Gibt es ein dreidimensionales Analogon der
Sattelfläche?
Einstein: Kein Problem. Das wäre dann ein Raum mit konstanter
negativer Krümmung, der allerdings im Gegensatz zum Kugelraum
unendlich groß wäre. Ein Astronaut würde nie an seinen
Ausgangspunkt zurückkehren.
Es ist interessant, im Kugelraum und im Sattelraum eine normale
dreidimensionale Kugel zu betrachten. Die Oberfläche einer
Kugel im euklidischen Raum ist 4�, multipliziert mit dem Quadrat
des Radius. Ebenso wie beim Kreis auf einer Kugeloberfläche gilt
die Beziehung zwischen der Oberfläche und dem Radius im Falle
einer nichteuklidischen Geometrie nicht mehr. Im Prinzip könnten
wir also die Krümmung des Raumes auch feststellen, indem wir
die Oberfläche einer Kugel im Raum messen und das Ergebnis mit
4�R 2 vergleichen. Eine Abweichung zwischen dem gemessenen
Radius und dem aufgrund der Oberflächenmessung ermittelten
Radius wäre ein Maß für die Krümmung. Ist die Oberfläche kleiner
als im euklidischen Fall, liegt eine positive Krümmung vor, im
anderen Fall eine negative.
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