Die verbogene Raum-Zeit

sagen wir auf dem Nordpol. Wenn ich mich jetzt nur für die
Verhältnisse in der unmittelbaren Nähe des Nordpols interessiere,
dann kann ich die Krümmung überhaupt vergessen und so tun, als
befände ich mich in einem ebenen Raum - also in der Ebene, die
sich an die Kugel anschmiegt, so wie eine Tangente, die sich an
eine gekrümmte Linie anschmiegt.
Man sieht leicht, daß solch ein Tangentialraum in jedem Punkt
einer gekrümmten Fläche konstruiert werden kann, also nicht nur
bei einer Kugeloberfläche. Dieser Tangentialraum, der natürlich
eine Hilfskonstruktion ist, hat alle Eigenschaften einer Ebene, also
eines euklidischen Raumes - so ist die Summe der Winkel im
Dreieck 180 Grad.
Newton: Ich denke, ich verstehe jetzt, was Sie und Haller meinen.
Wäre ich ein Flachling auf einer Kugeloberfläche, der also keine
Ahnung von der Existenz einer dritten Dimension hat, würde ich
folgendermaßen vorgehen: Zuerst vermessen wir sehr kleine
gleichseitige Dreiecke und stellen fest, daß der Raum in unserer
Umgebung euklidisch ist, denn die Summe der Winkel im Dreieck
ist innerhalb der Fehlergenauigkeit stets 180 Grad. Jetzt untersuchen
wir größere Dreiecke und stellen fest, daß die Winkelsumme
nicht mehr 180 Grad ist, sondern, sagen wir, 185 Grad. Bei noch
größereren Dreiecken ist sie noch größer, schließlich sogar 270
Grad, wie im Beispiel zuvor. Aus diesen Ergebnissen kann ich jetzt
auf die Raumkrümmung schließen und sogar feststellen, daß ich
auf einer Kugeloberfläche lebe. Sie haben mich überzeugt - es geht
doch. Man kann feststellen, ob der Raum eine Krümmung besitzt,
ohne diesen Raum von außen, also unter Zuhilfenahme weiterer
Dimensionen, zu betrachten.
Einstein: Das ist kein Zufall, denn die Krümmung eines Raumes ist
eben eine Eigenschaft des Raumes selbst und hat nichts mit einer
Einbettung in einem Raum mit zusätzlichen Dimensionen zu tun.
Das war die wichtige Erkenntnis von Gauß, der dies vor allem für
gekrümmte Flächen in allen Details ausgearbeitet hat.
Für einen Flachling, der auf einer beliebigen gekrümmten
Fläche haust, ist seine Welt nicht nur eine Fläche, die aus einer
Ansammlung von Punkten besteht, sondern er kennt auch die je-
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