Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.42 Polinomi di Legendre
I polinomi di Legendre sono definiti dalla relazione:
Pn = 1
2n d
n!
n (x 2 − 1) n
dxn Essi soddisfanno alle relazioni
1
⎧
⎪⎨
0 , per m = n
Inoltre,
Pm Pn dx =
−1
⎪⎩
2
, per m = n
2n + 1
(1.417)
. (1.418)
Pn(1) = 1 , Pn(−1) = (−1) n . (1.419)
I primi di tali polinomi hanno l’espressione:
P0 = 1
P1 = x
P2 = 3
2 x2 − 1
2
P3 = 5
2 x3 − 3
2 x
P4 = 35
8 x4 − 15
4 x2 + 3
8
P5 = 63
8 x5 − 35
4 x3 + 15
8 x
P6 = 231
16 x6 − 315
16 x4 + 105
16 x2 − 5
16
P7 = 429
16 x7 − 693
16 x5 + 315
16 x3 − 35
16 x
90
1
P
−1
2 n dx = 2
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
13
2
15