Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
le matrici γ α ik godono delle seguenti proprietà: sono Hermitiane e soddisfano
la relazione
1
2 (γα γβ + γβ γα) = δαβ
(3.520)
e inoltre, se σ è una matrice definita dalle equazioni (3.511), le matrici
trasformate σ −1 γασ corrispondenti a ct ′ , x ′ /i, y ′ /i, z ′ /i sono combinazioni
lineari di quelle corrispondenti a ct, x/i, y/i, z/i (si veda la prossima
sezione).
3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz
Si debbano costruire in uno spazio a n dimensioni p operatori Hermitiani
α1, α2, . . . , αp
(3.521)
con le condizioni:
αiαk + αkαi
= δik. (3.522)
2
Dati n e p può darsi che il problema non ammetta soluzioni, o che ne
ammetta una sola fondamentale (che cioè tutte le possibili serie di matrici
α1, α2, . . . , αp; α ′ 1, α ′ 2, . . . , α ′ p; . . . si ottengono l’una dall’altra per trasformazione
unitaria) e può darsi che ammetta parecchie soluzioni fondamentali
non riducibili l’una all’altra per trasformazione unitaria.
1) Supponiamo p = 1; una unica condizione da soddisfare è allora
α 2 1 = 1, (3.523)
per il che basta e occorre che gli autovalori di α1 siano tutti 1 oppure −1.
Lo spazio Rn si spezza così nella somma R ′ r +R ′′ n−r; il primo a r dimensioni
(0 ≤ r ≤ n), corrisponde all’autovalore positivo +1, r − 1 volte degenerato,
il secondo all’autovalore negativo −1, n−r−1 volte degenerato. Assumendo
come primi r vettori fondamentali r vettori unitari e ortogonali qualsiasi
di R ′ r e come ultimi n − r vettori fondamentali, n − r vettori unitari e
ortogonali di R ′′ n−r, la matrice di α1, sarà diagonale, con i primi r elementi
diagonali uguali a 1, e gli ultimi n − r uguali a −1. Facendo variare r, da n
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