Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Analogamente alla rotazione di un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse x
corrisponde il quaternione:
1, 0, 0, − 1
2 ɛ
,
e alla rotazione dell’angolo ɛ intorno all’asse y, il quaternione:
1, 0, 1
ɛ, 0 .
2
Segue che in una rappresentazione qualunque di U(2) considerata come rappresentazione
(univoca o duplice) del gruppo O(3), le rotazioni infinitesime
intorno agli assi x, y, e z, si esprimono mediante le trasformazioni infinitesime
fondamentali P1, P2, e P3 in base alle semplici relazioni:
Rz = − 1
1
1
P1, Rx = − P3, Ry = P2. (3.498)
2 2 2
Seguono a causa delle equazioni (3.438), le relazioni di scambio:
RxRy − RyRx = Rz
RyRz − RzRy = Rx (3.499)
RzRx − RxRz = Ry.
Seguono dalle equazioni (3.442) le espressioni delle matrici Rx, Ry, Rz nelle
rappresentazioni Dj (cangiando il segno di m e n, cioè ponendo m = j −r):
Rz
i
Rx
i
Ry
i
m,n
m,n
m,n
Si hanno così le matrici:
= m δm,n
= − i
j(j + 1) − mn (δm+1,n + δm−1,n) (3.500)
2
= i
j(j + 1) − mn (δm+1,n − iδm−1,n) .
2
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