Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

(18)
(19)
(20)
(21)
2
7·9
2
3·5
2
3·5
2
1·3
Volumetto 3: 28 giugno 1929
2
1·3
+ 2
7·9
+ 2
11·13
+ 2
15·17
2
8 2 (8 2 − 1) +
2
8 4 (8 4 − 1) +
∞
r=0
+ 2
3·5
+ 2
5·7
+ 2
5·7
+ 2
11·13
+ 2
19·21
+ 2
23·25
+ 2
9·11
+ 2
7·9
+ . . . = 1
+ . . . = π
4
2
π
+ + . . . = 1 −
15·17 4
√
2
2 − 1
+ + . . . = π
27·29 8
√
2
2 + 1
+ + . . . = 1 − π .
31·33 8
2
16 2 (16 2 − 1) +
√
2 + 1
= 1 − π
8
2
16 4 (16 4 − 1) +
√
2 + 1
= 1 − π
8
n + 1
2r
x 2r
2
24 2 (24 2 − 1)
− π2
192 .
− π2
192 −
2
24 4 (24 4 − 1)
π 4
90·2048 .
+ . . .
+ . . .
2r + 1 = (1 + x)n+2 − (1 − x) n+2
2(n + 2)x
per x ≤ 1; si veda il paragrafo 2.38.6. Se n è intero e positivo, la serie si
riduce a una somma finita fino a 2r = n + 1/2 ± 1/2.
Casi particolari:
(a) x = 1:
∞
r=0
n + 1
2r
1
2r + 1
228
22n+1
= ; (3.6)
n + 2