Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
così che, a causa delle (3.655)-(3.657),
di rendere diagonale
o semplicemente
2
4m 2 c 2
Tr1,s1 = (r + 1) δrs
Tr2,s2 = (r − 1) δrs (3.660)
Tr1,s2 = Tr2,s1 = 0,
Dalle formole (3.591)-(3.594) e (3.660) risulta:
1 dV
r dr ψψ∗ dτ (Q + ɛ T ) (3.661)
Q + ɛ T = S. (3.662)
Sm1,m ′ 1 = (m + ɛ m + ɛ) δmm ′ (3.663)
Sm2,m ′ 2 = (− m + ɛ m − ɛ) δmm ′ (3.664)
Sm1,m ′ 2 = k(k + 1) − mm ′ δm+1,m ′ (3.665)
Sm2,m ′ 1 = k(k + 1) − mm ′ δm−1,m ′. (3.666)
La matrice S si spezza in 2k + 2 matrici la prima e l’ultima di un solo
elemento, le altre di due righe e colonne, precisamente come in (3.595) si
spezzava la Q da sola. In realtà il termine ɛT che si aggiunge a Q non altera
le condizioni di riducibilità poiché esso è diagonale quando le coordinate
sono adattate allo spezzamento di Q nel modo anzidetto. La prima matrice
formata dall’unico elemento k1, k1, ha per autovalore:
k1, k1 : k + ɛ (k + 1) , ℓ = k + 1
. (3.667)
2
L’ultima formata dall’unico elemento −k2, −k2, ha per autovalore:
−k2, −k2 : k − ɛ (k + 1) , ℓ = − k − 1
. (3.668)
2
Le altre 2k matrici quadrate con due righe le distingueremo, come (3.597)
e (3.598)), mediante l’impulso totale ℓ intorno all’asse z (ℓ = k − 1/2, k −
3/2, . . . , −k + 1/2). Esse hanno la forma:
ℓ − 1/2 + ɛ(ℓ + 1/2) (k + 1/2) 2 − ℓ2 . (3.669)
(k + 1/2) 2 − ℓ2 −(ℓ + 1/2) + ɛ(ℓ − 1/2)
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