Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
trasformazioni infinitesime soddisfacenti alle relazioni di scambio (5.1). In
luogo di Sx, Sy, Sz, Tx, Ty, Tz possiamo introdurre le matrici:
ax = i Sx, bx = −i Tx, . . . . (5.153)
Queste saranno Hermitiane in una rappresentazione unitaria e viceversa.
Obbediranno inoltre alle relazioni 51
[ax, ay] = i az
[bx, by] = −i az
[ax, bx] = 0 (5.154)
[ax, by] = i bz
[bx, ay] = i bz
etc.
Ognuna delle nostre rappresentazioni opera in uno spazio a infinite dimensioni
i cui vettori unitari sono distinti da due numeri j e m (nelle rappresentazioni
della prima classe j = 1/2, 3/2, 5/2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j; nelle
rappresentazioni della seconda classe j = 0, 1, 2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j).
Oltre a ciò ogni rappresentazione è contrassegnata da un numero reale Z0
suscettibile di tutti i valori positivi o negativi e di cui vedremo appresso il
significato. Le componenti diverse da zero di ax −iay, ax +iay, az, bx −iby,
bx + iby, bz si deducono dallo schema seguente 52 :
< j, m | ax − iay | j, m + 1 > = (j + m + 1)(j − m)
< j, m | ax + iay | j, m − 1 > = (j + m)(j − m + 1)
< j, m | az | j, m > = m
< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 1
(j + m + 1)(j + m + 2)
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51 Negli appunti originali il commutatore è indicato con parentesi tonde: (a, b).
Anche in questo caso abbiamo preferito adottare la notazione moderna [a, b].
A margine del manoscritto sono anche riportate le proprietà di trasformazione
delle matrici a, b (che sono in relazione con le proprietà di trasformazione del
campo elettromagnetico): (ax, ay, az, bx, by, bz) ∼ (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz) ∼
(−Hx, −Hy, −Hz, Ex, Ey, Ez).
52 Nell’originale, questi prodotti scalari sono indicati mediante parentesi tonde:
(. . . | . . . | . . .). Seguendo la notazione di Dirac, si è preferito invece scrivere:
< . . . | . . . | . . . >.
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