Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.20 Caratteri della Dj e riduzione
di Dj×D ′ j 19
Le rappresentazioni Dj di O(3), univoche e duplici, possono sempre riguardarsi
come rappresentazioni irriducibili, univoche del gruppo SU(2)
delle trasformazioni unitarie con determinante 1 in due dimensioni. In
particolare O(3), come equivalente a Dj, è una rappresentazione irriducibile
di SU(2). La legge di rappresentazione è espressa dalla formola (3.497).
Ogni elemento di SU(2) può ricondursi a forma diagonale
ɛ 0
0 ɛ −1
, (3.605)
con |ɛ| = 1, mediante trasformazione unitaria. La matrice (3.605) è ancora
un elemento di SU(2), e poiché possiamo sempre richiedere che la trasformatrice
unitaria abbia determinante 1 e faccia quindi parte di SU(2), il
nostro elemento sarà coniugato all’elemento principale (3.605). Tutti gli elementi
coniugati a (3.605) costituiscono una classe e precisamente, facendo
variare ɛ con la condizione |ɛ| = 1, la più generale classe di elementi coniugati.
Ogni classe è così distinta dagli autovalori ɛ e 1/ɛ, determinati a
meno del loro ordine, di un suo qualunque elemento. Ponendo:
ɛ = e iω ,
1
ɛ = e−iω , (3.606)
l’angolo ω, determinato a meno del segno, definisce una classe.
Poiché il carattere è una funzione di classe, possiamo limitarci ai caratteri
degli elementi principali della forma (3.605).
Nella rappresentazione Dj (di grado 2j +1 = v +1) di SU(2) la matrice
corrispondente all’elemento (3.605) trasforma il vettore di componenti:
nel vettore di componenti:
ξ ′r η ′v−r
r!(v − r)! =
ξ r η v−r
r!(v − r)! , v = 2j, r = 0, 1, . . . , v, (3.607)
ξ r η v−r
r!(v − r)! ɛ 2r−v , r = 0, 1, . . . , v. (3.608)
19 Nella consueta terminologia moderna, il termine “carattere” è sinonimo di
“traccia.”
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