Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Per le ipotesi fatte z è sviluppabile in serie di Mac-Laurin, assolutamente
convergente:
∞ (it)
z = µn
n
. (3.194)
n!
Sostituendo nella (3.191) si avrà:
y = 1
2π
∞
−∞
0
e −ixt
∞
0
µn
(it) n
n!
dt, (3.195)
in cui i segni dell’integrale e le serie non sono naturalmente invertibili.
Si può anche scrivere:
y = 1
π
+ 1
π
∞
0
∞
0
cos xt
sin xt
∞
0
(−1) r µ2r
∞
0
t 2r
(2r)! dt
(−1) r µ2r+1
t 2r+1
dt. (3.196)
(2r + 1)!
Esempio 1. Sia y = 1 per 0 < x < 1 e y = 0 per x < 0, oppure per
x > 1. I momenti saranno:
µ0 = 1, µ1 = 1
2 , . . . µn =
Sostituiamo nella (3.196) notando che in questo caso:
∞
0
= 1
t
∞
0
= 1
t
(−1) r µ2r
0
(−1) r µ2r+1
1 −
t 2r
(2r)! =
∞
(−1) r t 2r+1
(2r + 1)!
∞
0
t 2r+1
(2r + 1)!
(−1) r t 2r
(2r)!
252
0
1
n + 1 .
∞
(−1) r t 2r
(2r + 1)!
1
=
t
= sin t
t
= 1 − cos t
∞
(−1) r t 2r+2
(2r + 2)!
0
(3.197)
. (3.198)
t