Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Consideriamo le rappresentazioni Dj×D ′ j del gruppo SU(2). Il loro
carattere sarà dato da χjχj ′. Scomponiamo Dj×D ′ j nelle rappresentazioni
irriducibili Dτ ; avremo:
χj χj ′ = χτ . (3.618)
Cioè a causa di (3.611) e moltiplicando per ɛ − ɛ −1 :
ɛ 2j + ɛ 2j−2
+ . . . + ɛ
−2j
ɛ 2j′ +1 −(2j
− ɛ ′ +1)
=
ɛ 2τ+1 − ɛ −(2τ+1)
e poiché il primo membro di (3.619) si può scrivere: 20
ɛ 1+2j′ +2j − ɛ −(1+2j ′ +2j) + ɛ 1+2j ′ +2j−2 − ɛ −(1+2j ′ +2j−2)
(3.619)
+ . . . + ɛ 1+2j′ −2j − ɛ −(1+2j ′ −2j) , (3.620)
segue che la (3.619) può essere identicamente soddisfatta solo se compaiono,
e ciascuno una sola volta, i soli valori di τ:
j ′ + j, j ′ + j − 1, . . . , j ′ − j, se j ′ ≥ j
j + j ′ , j + j ′ − 1, . . . , j − j ′
se j ≥ j ′
(3.621)
derivando la seconda parte di (3.621) da evidenti ragioni di simmetria,
poiché in (3.619) e quindi in (3.620) si possono scambiare j e j ′ .
Si noti che al principale elemento della (3.605) corrisponde una rotazione
nello spazio ordinario. Tale rotazione, secondo la formola (3.497)
in cui si ponga:
è data da:
x = cos ω, λ = sin ω, µ = ν = 0 (3.622)
x ′ = x cos 2ω + y sin 2ω
y ′ = − x sin 2ω + y cos 2ω
z ′ = z,
che esprimono una rotazione intorno all’asse z dell’angolo −2ω.
(3.623)
20 La (3.620) può essere ottenuta dalla (3.619) moltiplicando il primo termine
nella prima parentesi con il primo termine nella seconda parentesi e l’ultimo nella
prima parentesi con il secondo nella seconda parentesi e così via.
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