Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
soddisfa alle condizioni volute presenta singolarità anche al contorno del
campo di integrazione, cioè per T = R/c, e così l’integrale (5.167) si spezza
nella somma di un integrale preso sul cono ottico negativo, e di un integrale
quadridimensionale preso all’interno del detto semicono ottico. Si trova la
formola seguente che verificheremo più avanti:
A(q, t) = 1
4π
1
R p
q ′ , t − R
dq
c
′ − cλ
4π
essendo I1 la funzione di Bessel d’ordine 1 e
T >R/c
I1(ω)
ω p(q′ , t ′ ) dq ′ dt ′ ,
(5.169)
ω = λ (c 2 T 2 − R 2 ). (5.170)
Per λ = 0 sopravvive in (5.169) solo il primo integrale che dà la consueta
espressione dei potenziali ritardati.
Per verificare la (5.169), poniamo per q e t fissi:
A(q, t) =
t
u(t
−∞
′ ) dt ′ , (5.171)
essendo u(t ′ )dt ′ il contributo dato nei due integrali a secondo membro di
(5.169) da tutti i punti dei due campi di integrazione appartenenti a t ′
compreso fra t ′ e t ′ + dt ′ . Vogliamo dimostrare che u(t ′ ) può porsi nella
forma:
u(t ′ ) = dv(t′ )
dt ′ , (5.172)
la funzione v(t ′ ) potendosi esprimere come somma di due integrali presi
nello spazio t ′ = costante, l’uno sulla superficie sferica |q −q ′ | = R = cT =
c(t − t ′ ) e l’altro all’interno della stessa sfera. Precisamente, si può porre:
v(t ′ ) = 1
4π
1 λ
+ −
R2 2
4πc 2 T 2
0
A(q ′ , t ′ )
− λ cT A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)
ω 3
1 ∂A(q
cR
′ , t ′ )
∂t ′ + 1 ∂A(q
R
′ , t ′ )
∂R
dσ − λ
4π
4 πc
3 3 T 3
0
1 ∂A(q
c
′ , t ′ )
∂t ′
I1(ω)
ω
dq ′ ; (5.173)
[∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna!]
Per dimostrare questa formola bisogna provare che u(t ′ ) ottenuta per
derivazione di v(t ′ ) secondo la (5.172) coincide con il vettore calcolato
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