Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
inequivalenti a h, presenti nella scomposizione di H. Per la definizione di
grandezza covariante dello spazio h dovremo avere:
A 1 sx 1 + A 2 sx 2 + . . . + A k sx k + . . . + A k+l s l x x+l + . . . = sy
= sA 1 x 1 + sA 2 x 2 + . . . + sA k x k + . . . + A k+l sx x+l + . . . , (3.633)
da cui essendo x arbitrarie:
sA 1 = A 1 s; sA 2 = A 2 s; . . . ; sA k = A k s; . . . ;
sA k+l = A k+l s l ; . . . . (3.634)
Per il teorema fondamentale sulla rappresentazioni irriducibili, 21 badando
che s e s l sono rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo g, si
deduce:
sono multipli della matrice unita ,
A k+l , . . . sono nulle.
A 1 , A 2 , . . . , A k
(3.635)
Segue che tutte le grandezze covarianti del nostro tipo sono combinazioni
lineari di k indipendenti; infatti dovendo essere:
(con a costante), si può porre:
di = a1x 1 i + a2x 2 i + akx k i (3.636)
d = α1 d 1 + α2 d 2 + . . . + αk d k , (3.637)
essendo d γ (γ = 1, 2, . . . , k) le componenti:
d γ
i
= xγi
, γ = 1, 2, . . . , k; i = 1, 2, . . . , r, (3.638)
ed essendo quindi tra loro linearmente indipendenti. Il numero delle d γ è
pari al numero di volte che la rappresentazione irriducibile h è contenuta
in H, e ciò risolve il nostro quesito.
Tornando alla nostra grandezza (3.628), covariante della specie Dj nello
spazio della rappresentazione Dj×Dj ′ del gruppo SU(2), la questione di
21 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda
W. pagina 124. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alla p. 124 di Gruppentheorie
und Quantenmechanik di H. Weyl (Hirzel, Leipzig, 1928). Per la
versione inglese si veda p.153 di H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum
Mechanics (Dover, New York, 1931).
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