Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

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Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se si pone x = π √ k, k = x 2 /π 2 , si può scrivere:
sin x
x
= (1 − k)
1 − k
4
1 − k
9
1 − k
16
. . . (3.292)
Per x = π/2 e quindi (k = 1/4) segue la formola 1) di Wallis. (1).
1
2 · 42 ·7
53 · 72 ·10
83 · 102 ·13
113 · 132 ·16
143 · . . . =
(si veda il paragrafo 2.5), essendo
Ed essendo:
segue:
lim
x→∞
3 P1
P ′′
1 (x) = x P1(x), P1(0) = 1, P ′ 1(0) = 0,
P ′′
2 (x) = x P2(x), P2(0) = 0, P ′ 2(0) = 1.
P2 = P1
1
λ =
∞
0
∞
0
dx
P 2 1
P2
= λ 3
(3.293)
(3.294)
dx
P 2 . (3.295)
1
3.8 Polinomi e numeri di Bernoulli
I polinomi di Bernoulli si possono far derivare dalla funzione generatrice:
ψ(x, t) =
t ext
et − 1 =
∞ Bn(x)
t
n!
n . (3.296)
I numeri di Bernoulli sono i termini costanti dei polinomi di Bernoulli
Bn(x):
Bn = Bn(0). (3.297)
Ponendo x = 0 nella (3.296), si ricava la definizione diretta dei numeri di
Bernoulli:
t
et − 1 =
∞ Bn
n! tn . (3.298)
0
267
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