Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

(a) onde longitudinali:
V L k,j,m
=
Volumetto 5
k j
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1
j + 1
+
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m
j,j+1 ; (5.219)
(b) onde di multipolo elettrico:
V E k,j,m =
k j + 1
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1
j
−
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m
j,j+1 ; (5.220)
(c) onde di multipolo magnetico:
V M k,j,m =
k
r Ij+1/2(kr) ϕ m j,j. (5.221)
Come si è detto, e come è chiaro anche dalle espressioni precedenti, le onde
trasversali esistono solo per j > 0. Il sistema di funzioni vettoriali ortogonali
composto da (5.219), (5.220), e (5.221) è completo e normalizzato
rispetto a dk. Quest’ultima proprietà risulta facilmente dall’espressione
asintotica delle funzioni di Bessel.
Sviluppiamo in (5.206) I0 secondo detto sistema di funzioni ortogonali:
I0 =
∞
I L k,j,m V L k,j,m + I E k,j,m V E k,j,m + I M k,j,m V M
k,j,m dk,
j,m
0
(5.222)
essendo le Ik,j,m delle costanti, e analogamente immaginiamo di porre in
ogni istante:
A =
∞
j,m
˙A =
j,m
0
∞
0
χ=L,E,M
χ=L,E,M
A χ
k,j,m e−ikct + A ′χ
k,j,m eikct V χ
k,j,m dk,
ikc
(5.223)
A ′χ
k,j,m eikct − A χ
k,j,m e−ikct V χ
k,j,m dk.
504
(5.224)