Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
come si verifica direttamente in modo immediato
S0 = 1 S0(1) = 1
S1 = 1 + 1
3 x2 = (1 + x)3 − (1 − x) 3
6x
S2 = 1 + x 2 = (1 + x)4 − (1 − x) 4
8x
S1(1) = 4
3
S2(1) = 2
S3 = 1 + 2x 2 + 1
5 x4 = . . . S3(1) = 16
5
S4 = 1 + 10
3 x2 + x 4 = . . . S4(1) = 16
3 .
In generale, per n > −2, abbiamo
Sn(1) = 2n+1
. (2.733)
n + 2
In questa formola Sn(1) è evidentemente il valore medio fra le potenze
n-esime delle distanze di due elementi di superficie di una sfera di raggio
unitario (vedi il paragrafo 1.21 e le formole analoghe per gli elementi di
superficie di un cerchio).
Per n negativo, abbiamo invece:
S0 = 1 S0(1) = 1
S−1 = 1 S−1(1) = 1
S−2 = 1 1 + x
log
2x 1 − x
S−3 =
S−4 =
S−5 =
1 1
=
1 − x2 2x
1
(1 − x2
1
=
) 2 4x
1 + 1
3 x2
(1 − x2 1
=
) 3 6x
1 1
−
1 − x 1 + x
1
−
(1 − x) 2
1
−
(1 − x) 3
221
1
(1 + x) 2
1
(1 + x) 3
.
S−2(1) = ∞