Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Sostituendo nella (2.538) e usando delle approssimazioni annunciate:
1
χ =
A R e−R √
2B e
−
4
R
R 2πγ
√
cos 2B + 2πγ (x − R)
√
+ −
sin 2B + 2πγ (x − R) (2.544)
√
2B
A R e−R − 1 e
4
R
R 2πγ
ovvero, sempre in via approssimata:
χ =
2
A R2 e−2R + A
8 R−2 e2R 4π2γ 2
√
× cos 2B + 2πγ (x − R) + z , (2.545)
essendo z un angolo che dipenda da γ. Se vogliamo le χ normalizzate
rispetto a dx, occorre moltiplicarle per un fattore N:
in modo che sia:
In effetti
N
u = N χ (2.546)
2
A R2 e −2R + A
8 R−2 e 2R 4π 2 γ 2 = 2. (2.547)
∞ +ɛ
lim
ɛ→0
0
χ(γ) dx
−ɛ
χ(γ + ɛ) dɛ = 1
. (2.548)
N 2
Avremo allora rispettivamente per x < R e per x > R le autofunzioni
normalizzate:
A e
u =
2
R
R
1 + π2A2 e
4
4R
γ2
R4
2x e −x + α e
4
x
e
x
iBt e 2πi√2Bγt u =
√
2 cos 2B + 2πγ (x − R) + z e iBt e 2πi√ (2.549)
2Bγt
.
Qui si è tenuto conto della dipendenza dal tempo e del fatto che E =
B + 2π √ 2Bγ. Si noti che nella prima delle (2.549) si è posto in evidenza
il fattore 2xe −x + (α/4)(e x /x) poiché:
R
2 R
0
2x e −x + α
4
e x
x
dx
0
185
2x e −x 2 dx 1, (2.550)