Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Siano F e G due funzioni qualunque delle q e p; definiamo come parentesi
di Poisson di F e G l’espressione
n
∂F ∂G
[F, G] =
−
∂qi ∂pi
∂F
∂G
. (3.695)
∂pi ∂qi
Seguono le proprietà:
i=1
[F, G] = − [G, F ] , [F, F ] = 0 (3.696)
[qi, qk] = 0, [pi, pk] = 0, [qi, pk] = δik. (3.697)
A causa delle (3.697) la (3.695) si può scrivere:
[F, G] = ∂(F, G)
∂(xr, xs) [xr, xs] , (3.698)
essendosi posto:
s>r
x1 = q1, x2 = q2, . . . , xn = qn
xn+1 = p1, . . . , x2n = pn.
(3.699)
In (3.698) può estendersi la sommatoria a tutte le coppie di indici per
cui sia s < r, ché il sistema non cambia; l’essenziale è evidentemente che
ogni coppia di variabili xr e xs sia portata in conto una volta sola, in un
ordine qualsiasi. Supponiamo G assegnata; si può allora riguardare [F, G]
come il risultato di una operazione eseguita su F . Tale operazione presenta
stretta analogia con quella di derivazione, come risulta dal fatto che se F
è funzione di f, vale la regola:
[F, G] = dF
df
[f, G] ; (3.700)
e più in generale se F è funzione di a funzioni f1, f2, . . . , fa, vale la regola:
[F, G] =
a dF
dfi
[fi, G] (3.701)
i=1
perfettamente analoga alla regola di derivazione delle funzioni composte.
La (3.698) è suscettibile di un’ampia generalizzazione che comprende
anche, come caso particolare, la (3.701). Supponiamo che F e G siano
funzioni di b funzioni del posto: g1, g2, . . . , gb. Segue allora da (3.695):
[F, G] =
s>r
∂(F, G)
[gr, gs] , (3.702)
∂(gr, gs)
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