Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

troviamo
Volumetto 4: 24 aprile 1930
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) = Kr(R)
∞
=
0
2 sin 2πsR
R s r−1
ds = (2πR)r−1
πR 2
∞
0
sin t
dt. (4.264)
tr−1 Questa formola è utilizzabile per 1 ≤ r < 3; l’espressione valida per r = 1
si otterrà passando al limite da r = 1 + ɛ per ɛ → 0 o, ciò che è lo stesso,
assumendo il valor medio dell’integrale a secondo membro quando il limite
superiore si lascia indeterminato. Troviamo così:
cioè
F 1 u(x, y, z) =
F 2 u(x, y, z) =
K1 = 1/πR 2
(4.265)
K2 = π/R (4.266)
(1/πR 2 ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′
(4.267)
(π/R) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.268)
Applicando l’operatore Laplaciano ai due membri della (4.268), troviamo
∆ F 2 = − 4π 2
(4.269)
da cui, essendo F 2 invertibile,
∆ = − 4π 2 F −2 ; (4.270)
relazione che segue immediatamente dalla (4.256). Possiamo definire l’operatore
√ ∆ ponendo: √ ∆ = 2πi F −1 , (4.271)
che in virtù della (4.270) e della (4.260) potremo scrivere:
Segue allora dalla (4.267)
√
∆ u(x, y, z) =
√ ∆ = 2πi F 1 F −2 = 1
2πi F 1 ∆ . (4.272)
1
2π 2 R 2 i ∆ u(x′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.273)
410