Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e le equazioni (2.496) diventano
χ ′′
+ 1 − α + 2
χ = 0, x < R
x
χ ′′ + (2A − 1 − α) χ = 0, x > R.
Una soluzione della prima di queste equazioni per α = 0 è
Poniamo la soluzione per α = 0 sotto la forma
(2.498)
χ = x e −x . (2.499)
χ = x e −x + α y, (2.500)
e imponiamo ancora la condizione che sia y(0) = 0, y ′ (0) = 0. Sostituendo
nella (2.498), si trova
y ′′ = x e −x
+ 1 + α − 2
y, (2.501)
x
che mostra come y dipenda anche da α. Essendo state assegnate le condizioni
ai limiti la y è completamente determinata. Per grandi valori di x
essa assume l’espressione asintotica:
y = kα e x√ 1+α /x 1/ √ 1+α . (2.502)
Poiché abbiamo supposto α piccolo, potremo in via d’approssimazione
porre kα = k0, e k0 si calcolerà in base all’espressione asintotica della
funzione y che si annulla insieme con la sua derivata per x = 0 e obbedisce
all’equazione differenziale:
y ′′ = x e −x +
La quale espressione asintotica dovrà essere del tipo:
y = k0
1 − 2
y. (2.503)
x
e x
. (2.504)
x
Vediamo dunque di calcolare k0. La y si può sviluppare secondo la
potenza ascendente di x:
y = 1
6 x3 − 1
9 x4 + . . . + an x n + . . . , (2.505)
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