Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

α6 =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
⎛
⎜
⎝
⎜
α7 = ± ⎜
⎝
0 0 0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0 0 0
⎛
0 0 0 0 0 0 0 −i
0 0 0 0 0 0 i 0
0 0 0 0 0 i 0 0
0 0 0 0 −i 0 0 0
0 0 0 i 0 0 0 0
0 0 −i 0 0 0 0 0
0 −i 0 0 0 0 0 0
i 0 0 0 0 0 0 0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Interpretazione secondo la teoria dei gruppi. Consideriamo più operatori
α1, α2, . . . , αp, (3.542)
soddisfacenti alle solite condizioni
αiαk + αkαi = 2 δik, (3.543)
e gli operatori composti che si ottengono moltiplicando quante si vogliano
delle α in un ordine qualsiasi. Essi formano gruppo e in realtà un gruppo
finito g perché a causa delle (3.543) possono sempre ricondursi al tipo:
g : ± α ɛ1
1 α ɛ2
2 . . . α ɛp
p , (3.544)
in cui le ɛi sono capaci dei valori 0 e 1. Gli operatori (3.544) possono
riguardarsi in astratto come elementi di un gruppo contenente 2 p+1 elementi.
Per avere una rappresentazione del gruppo basta trovare p matrici
soddisfacenti alla (3.543); esse corrispondono a p elementi fondamentali del
gruppo (3.544), cioè alle α stesse che si ottengono da (3.544) scegliendo il
segno + e ponendo tutte le ɛ tranne una uguali a zero. Da queste matrici
fondamentali per prodotto si ottengono quelle che corrispondono a tutti
gli altri elementi del gruppo. Il problema di determinare p matrici soddisfacenti
alle (3.543) lo abbiamo già risolto per tutti i valori di n per cui è
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